Ein abgeschlossenes Martingal ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezielles Martingal und somit ein stochastischer Prozess. Anschaulich sind diejenigen Martingale abgeschlossen, die ein letztes Element besitzen. Solche Martingale konvergieren schon aufgrund der ihnen über die Definition zukommenden Eigenschaften. Umgekehrt kann die Frage, ob ein Martingal abgeschlossen ist oder sich durch eine Zufallsvariable abschließen lässt, als Frage nach der Konvergenz des Martingals gedeutet werden.

Definition

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Gegeben sei ein Martingal   bezüglich der Filtrierung  

Dann heißt   ein abgeschlossenes Martingal, wenn es ein   und ein   gibt, so dass für alle  

  und  

gilt.

Ist   ein Submartingal, so heißt analog dazu   abgeschlossen, wenn es ein   und ein   gibt, so dass für alle  

  und  

gilt.

Eigenschaften

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Jedes abgeschlossene Martingal ist immer ein Doob-Martingal, lässt sich also in der Form

 

für eine integrierbare Zufallsvariable   darstellen. Dabei ist in diesem konkreten Fall  , die Zufallsvariable also das letzte Element des Martingals.

Umgekehrt lässt sich auch jedes Doob-Martingal abschließen, indem man   setzt sowie   und  , die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes.

Außerdem sind abgeschlossene Martingale sowie abgeschlossene, nichtnegative Submartingale immer gleichgradig integrierbar und konvergieren somit fast sicher sowie im ersten Mittel.

Umgekehrt existiert nach dem Martingalkonvergenzsatz zu jedem gleichgradig integrierbaren Martingal eine Zufallsvariable  , die messbar bezüglich

 

ist, so dass   und   das Martingal abschließen. Dabei ist   der Grenzwert im ersten Mittel und der fast sicheren Konvergenz.

Literatur

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