Rückwärtsmartingal

Ein Rückwärtsmartingal, auch inverses Martingal[1] oder rückwärts gerichtetes Martingal[2] genannt, ist ein stochastischer Prozess, der aus einem Martingal entsteht, indem man die Indexmenge umkehrt. Anschaulich handelt es sich also um ein Martingal, das „rückwärts abgespielt wird“. Ebenso wie für Martingale existieren auch für Rückwärtsmartingale Konvergenzsätze. Diese finden beispielsweise bei dem Beweis des Darstellungssatzes von de Finetti über die Struktur von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen Verwendung.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung   und   ein  -Martingal. Dann heißt der Prozess

 

ein Rückwärtsmartingal.

EigenschaftenBearbeiten

Man beachte, dass für die Filtrierung weiterhin   für   mit   gilt.   enthält somit alle relevanten Informationen des Prozesses.

Rückwärtsmartingale sind immer gleichgradig integrierbar, da sie aufgrund der Martingaleigenschaft immer die Darstellung

 

besitzen.

Konvergenzsatz für RückwärtsmartingaleBearbeiten

AussageBearbeiten

Ist   ein Martingal bezüglich  , so existiert

 

im Mittel und fast sicher. Mit

 

gilt dann

 .

Analog zum Martingalkonvergenzsatz folgt der Beweis mittels der Aufkreuzungsungleichung durch Betrachten der Aufkreuzungen zwischen   und   über  .

FolgerungBearbeiten

Eine für die Herleitung des Satzes von de Finetti wichtige Folgerung aus der obigen Aussage ist die folgende: Ist

 

und   eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten in   sowie   die Permutation der Zufallsvariablen unter   und

 

das symmetrisierte Mittel. Dann gilt im Mittel und fast sicher

 .

Dabei bezeichnet   die terminale σ-Algebra und   die austauschbare σ-Algebra.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 84, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 267.