Austauschbare Familie von Zufallsvariablen

Begriff

Austauschbare Familie von Zufallsvariablen ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die intuitive Vorstellung formalisiert, dass bei der Auswertung gewisser Informationen die Reihenfolge der Auswertung egal ist. Eine der wichtigsten Aussagen über austauschbare Familien ist der Darstellungssatz von de Finetti. Austauschbarkeit ist eine Abschwächung der Forderung, dass Zufallsvariablen unabhängig identisch verteilt sind.

Definition

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Eine Familie   von Zufallsvariablen heißt austauschbare Familie von Zufallsvariablen, wenn für jede Permutation   der Indexmenge  , die nur endlich viele Werte von   vertauscht, die Verteilung von   mit der Verteilung von   übereinstimmt.

Äquivalent dazu ist die Definition, dass für alle Teilmengen   mit   die Verteilungen von   gleich sind.

Alternativ und äquivalent dazu definiert man eine Familie von Zufallsvariablen genau dann als austauschbar, wenn für jedes   und für alle paarweise verschiedene   Elemente   existieren, so dass   und   identisch verteilt sind.

Bemerkungen und Eigenschaften

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  • Austauschbare Familien sind immer identisch verteilt. Dies folgt direkt aus der Definition, da die Gleichheit der Verteilungen für alle endlichen Teilmengen und damit auch für jede einzelne Zufallsvariable gefordert wird.
  • Eine Folge von Zufallsvariablen   ist genau dann austauschbar, wenn   unabhängig identisch verteilt gegeben eine σ-Algebra   ist. Ist dies der Fall, kann als σ-Algebra immer die terminale σ-Algebra oder die austauschbare σ-Algebra gewählt werden. Diese Aussage geht auf Bruno de Finetti zurück.

Literatur

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