Lévy-Khinchin-Formel

Die Lévy-Khinchin-Formel ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie charakterisiert die unendlich teilbaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen über eine kanonische Darstellung ihrer logarithmierten charakteristischen Funktion, die aus drei Teilen besteht.

Die Lévy-Khinchin-Formel basiert auf einer Arbeit von Paul Lévy von 1934, die eine Formel von Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow aus dem Jahre 1932 verallgemeinert. Im Jahr 1937 veröffentlichte dann Alexander Jakowlewitsch Chintschin die Lévy-Khinchin-Formel.[1]

Die Lévy-Khinchin-Formel ist beispielsweise wichtig für die Theorie der Lévy-Prozesse, da man aus der Darstellung der logarithmierten charakteristischen Funktion als drei Teile eine entsprechende Zerlegung für die Lévy-Prozesse ableiten kann.

AussageBearbeiten

Sei   ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf   mit charakteristischer Funktion  . Definiere

 .

Dann gilt:

  ist genau dann unendlich teilbar, wenn es eine reelle Zahl   und eine positive Zahl   gibt sowie ein σ-endliches Maß  , für das   und
 
gilt, so dass   die Darstellung
 
besitzt.[2]

Hierbei bezeichnet   die Indikatorfunktion der Menge  .

Das Maß   wird als kanonisches Maß oder Lévy-Maß von   bezeichnet, die Zahl   als Zentrierungskonstante und   als Gauß’scher Koeffizient. Gemeinsam nennt man   ein kanonisches Tripel.

Zu jeder unendlich teilbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört ein eindeutig bestimmtes kanonisches Tripel. Umgekehrt kann bei Vorgabe eines kanonischen Tripels eine eindeutige unendlich teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilung konstruiert werden.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B.A. Rogozin: Lévy canonical representation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 345.