Untermannigfaltigkeit des ℝn

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In der Mathematik sind Untermannigfaltigkeiten des (auch: Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums) ein Begriff aus der Analysis und der Differentialgeometrie. Da die Untermannigfaltigkeiten Teilmengen eines euklidischen Raumes sind, erben sie von diesem viele Eigenschaften wie zum Beispiel die Möglichkeit Abstände zu messen. Jedoch kann man jede Untermannigfaltigkeit auch als abstrakte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne umgebenden Raum) betrachten. Die Äquivalenz der beiden Sichtweisen wird durch den Einbettungssatz von Whitney sichergestellt.

Ausgewählte Beispiele, in denen Untermannigfaltigkeiten des eine Rolle spielen, sind:

In all diesen Anwendungen wird die Menge der betrachteten Punkte von vornherein auf eine Teilmenge des eingeschränkt, die sich lokal durch Diffeomorphismen auf Gebiete eines mit abbilden lässt. Diese Teilmenge wird als -dimensionale Untermannigfaltigkeit des bezeichnet. Mit Hilfe der Diffeomorphismen kann man auf der Untermannigfaltigkeit im differentialgeometrischen Sinne genauso rechnen wie in Gebieten des .

Meistens wird die Menge durch Nebenbedingungen beschrieben. Das heißt, enthält gerade diejenigen Punkte , die mit einer vorgegeben stetig differenzierbaren Funktion mit die Gleichung

erfüllen. Außerdem wird noch gefordert, dass ein regulärer Wert von ist, also die Jacobi-Matrix von für alle Punkte den Maximalrang hat.

Die letzte Bedingung sichert die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen. Dieser besagt, dass es zu jedem Punkt eine -Umgebung von gibt, in der die Punkte schon eindeutig durch Koordinaten parametrisiert sind. Die Abbildung, die auf die zur Parametrisierung benötigten Koordinaten projiziert, ist ein Beispiel für eine Kartenabbildungen und ist das zugehörige Kartengebiet. Da es zu jedem Punkt eine Kartenabbildung gibt, kann man ganz mit den zugehörigen Kartengebieten überdecken. Eine Menge solcher Karten, mit deren Kartengebieten man überdecken kann, ist ein Beispiel für einen Atlas.

Mit Hilfe der Kartenabbildungen kann man auf lokal wie im rechnen. Das motiviert, dass die natürliche Zahl Dimension von genannt wird und als -dimensionale Untermannigfaltigkeit des bezeichnet wird.

BeispielBearbeiten

 
Kartengebiete und Projektionen als Kartenabbildungen für die eindim. Einheitssphäre

Die Einheitssphäre im   wird mit der stetig differenzierbaren Funktion   durch die Gleichung   beschrieben. Die Jacobi-Matrix   hat für   mit   ihren Maximalrang eins. Also ist

 

eine (n - 1) - dimensionale Untermannigfaltigkeit des  . In jedem Punkt   ist mindestens eine Koordinate   ungleich Null. Für   kann man mit   die Menge

 

als Kartengebiet nutzen und für   mit   die Menge

 .

Die Abbildungen

 
 

mit

 

eignen sich dann als Karten für diese Gebiete.

Am einfachsten zu veranschaulichen ist dieses Vorgehen für die eindimensionale Einheitssphäre im  . Im nebenstehenden Bild sind die vier Kartengebiete als dick durchgezogene Linien eingezeichnet. Die Vereinigung der Kartengebiete überdeckt die gesamte Einheitssphäre, also bilden diese Karten zusammen einen Atlas. Die jeweils zu den Kartengebieten gehörigen Flachmacher sind durch einen kleinen Pfeil angedeutet. Die Bilder der Kartengebiete sind dick gestrichelt.

Für die zweidimensionale Einheitssphäre im   benötigt man schon zwei Koordinaten zur eindeutigen Parametrisierung der Punkte in den Kartengebieten. Zum Beispiel wählt man für   die Menge   und als Kartenabbildung  .

Auch das Möbiusband hat lokal Eigenschaften wie ein Gebiet des   und soll deshalb auch als zweidimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des   bezeichnet werden können. Wäre das Möbiusband als Urbild eines regulären Wertes einer stetig differenzierbaren Funktion   darstellbar, so müsste der senkrecht auf   stehende stetige Gradient dieser Funktion überall in eine Richtung zeigen (als z. B. von der Vorderseite wegzeigen). Das geht jedoch nicht, da das Möbiusband keine Vorder- oder Rückseite hat. Deshalb muss die Definition der differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des   etwas allgemeiner gefasst werden.

Definition einer Untermannigfaltigkeit des euklidischen RaumsBearbeiten

Eine Menge   ist eine  -dimensionale  -mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des  , wenn es zu jedem Punkt   eine  -Umgebung   und eine  -mal stetig differenzierbare Funktion   mit regulärem Wert 0 gibt, so dass   gilt.

Wichtige AussagenBearbeiten

Äquivalent dazu ist: Eine Menge   ist genau dann eine  -mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des  , wenn es zu jedem Punkt   einen lokalen Flachmacher gibt, d. h., zu   existieren eine  -Umgebung   und ein   Diffeomorphismus   so dass für alle   gilt:   genau dann, wenn  .

Eine reguläre Parameterdarstellung ist eine stetig differenzierbare Funktion  , die ein Gebiet   des   in den     abbildet und deren Jacobi-Matrix   für jeden Parameter   den Maximalrang   hat.

Ist   ein lokaler Flachmacher einer Mannigfaltigkeit  , so ist   eine reguläre Parameterdarstellung, die zumindest den Teil   von   parametrisiert. Dabei projiziert   mit   auf die wesentlichen Komponenten des lokalen Flachmachers.

 
Beispiel für eine Immersion, deren volles Bild keine Untermannigfaltigkeit des   ist

Lokal kann man durch reguläre Parameterdarstellungen auch Mannigfaltigkeiten definieren: Ist   eine reguläre Parameterdarstellung und   beliebig, so existiert eine Umgebung   von  , so dass das Bild   von   unter   eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des   darstellt.

BeispielBearbeiten

Die rechts veranschaulichte Immersion   mit   ist ein Beispiel dafür, dass die vorstehende Aussage nicht notwendigerweise auf das volle Bild einer Immersion verallgemeinerbar ist (sogar dann nicht, wenn, wie in diesem Beispiel, die Immersion injektiv ist). Die Menge   ist lokal um den Punkt   nicht diffeomorph zu einem Intervall der reellen Achse und stellt somit keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des   dar.

Tangentialvektoren/Tangentialraum/TangentialbündelBearbeiten

 
Tangentialvektor an   in   definiert als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve   durch   sowie Tangentialraum an den Punkt  

Sei   eine  -dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des   und  . Ein Vektor   heißt Tangentialvektor an   im Punkt  , falls es eine differenzierbare Kurve   mit   und   gibt.

Betrachtet man   als Bahnkurve eines sich auf der Untermannigfaltigkeit   bewegenden Teilchens, so passiert dieses Teilchen zur Zeit   den interessierenden Punkt   gerade mit der Geschwindigkeit  .

Die Menge   aller Tangentialvektoren an   im Punkt   ist ein  -dimensionaler linearer Raum und wird als Tangentialraum an   im Punkt   bezeichnet.

Definitionsgemäß lässt sich die Untermannigfaltigkeit in einer Umgebung   des Punktes   als reguläre Nullstelle einer Funktion   darstellen. Sei   eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit  . Da diese auf der Mannigfaltigkeit verläuft, erfüllt sie die Gleichung  . Ableiten nach   an der Stelle   ergibt  , woraus folgt:

Der Tangentialraum   ergibt sich gerade als Kern der zu   gehörigen Jacobi-Matrix  , das heißt, es gilt  .

Hat man eine (lokale) reguläre Parameterdarstellung   gegeben, die einen Parameterpunkt   in   abbildet, so lässt sich der Tangentialraum an   in   auch als volles Bild der zugehörigen Jacobi-Matrix   darstellen:

 

Die Relation  , die jedem Punkt   alle Tangentialvektoren an   in diesem Punkt zuordnet, heißt Tangentialbündel von  .

Sei   eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des   und   beliebig. Aus einer lokalen Darstellung   von   in einer Umgebung   von   lässt sich eine lokale Darstellung von   konstruieren:

 

Damit ist   eine  -dimensionale (mindestens einmal) stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des   (im Sinne der üblichen Identifikation des   mit dem  ).

LiteraturBearbeiten

  • Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8