Hauptmenü öffnen

Einbettungssatz von Whitney

mathematisches Theorem der Differentialgeometrie fuer abzaehlbare Raeume

Der Einbettungssatz von Whitney ist ein grundlegendes Theorem in der Differentialgeometrie. Er wurde 1936 vom amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney bewiesen. Der Satz besagt, dass jede -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung in besitzt.

ErläuterungenBearbeiten

Die Kernaussage dieses Satzes ist also, dass es eigentlich nur Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum gibt.

Man beachte, dass der Satz nur gilt, wenn man der (sehr üblichen) Definition folgt, dass eine Mannigfaltigkeit immer zweitabzählbar ist. Wenn man dies nicht fordert, gibt es glatte Mannigfaltigkeiten, die sich nicht in einen Euklidischen Raum einbetten lassen, wie z. B. die Lange Gerade oder ein überabzählbarer diskreter Raum.

Eine Einbettung einer Mannigfaltigkeit   in eine andere   ist eine injektive Abbildung  , so dass   eine Untermannigfaltigkeit von   ist und die Abbildung   ein Diffeomorphismus ist. Anschaulich gesprochen ergibt eine Einbettung in den euklidischen Raum   eine Fläche, die sich nirgends durchdringt oder berührt.

BeispielBearbeiten

Ein Beispiel ist die Klein’sche Flasche, eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die sich nicht in den dreidimensionalen Raum einbetten lässt (jedoch immersieren), wohl aber in den vierdimensionalen  .

Das Beispiel der Einbettung des Torus in den dreidimensionalen Raum zeigt, dass die Dimension   nicht immer die kleinste Dimension ist, für die eine Einbettung existiert; manchmal genügt auch eine niedrigere Dimension. Aber das Resultat von Whitney ist scharf in dem Sinn, dass es für jedes   eine  -dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, die in den  -dimensionalen Raum, aber nicht in den  -dimensionalen Raum eingebettet werden kann.

LiteraturBearbeiten

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten