Satz von der majorisierten Konvergenz

mathematischer Satz

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Die formale Aussage des SatzesBearbeiten

Sei   ein Maßraum und sei   eine Folge von  -messbaren Funktionen  .

Die Folge   konvergiere  -fast überall gegen eine  -messbare Funktion  . Ferner werde die Folge   von einer  -integrierbaren Funktion   auf   majorisiert, sprich für alle   gelte    -fast überall. Beachte, dass bei der hier verwendeten Definition von Integrierbarkeit der Wert   ausgeschlossen ist, das heißt  .

Dann sind   und alle  -integrierbar und es gilt:

     

Dies impliziert auch, dass

 

gilt.

Bemerkung zu den VoraussetzungenBearbeiten

  • Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit   kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge  , definiert durch  , wobei   die Indikatorfunktion auf   bezeichne. Es gilt   überall, aber dennoch ist
 .
  • Auf die Voraussetzung, dass die Funktion   messbar ist, kann man verzichten, wenn stattdessen bekannt ist, dass   ein vollständiger Maßraum ist, weil dann die Funktion   automatisch messbar ist. Ebenso folgt die Messbarkeit von  , falls bekannt ist, dass die Folge überall, und nicht nur fast überall gegen   konvergiert.

Majorisierte Konvergenz in Lp-Räumen (Folgerung)Bearbeiten

Sei   ein Maßraum,   und sei   eine Folge von  -messbaren Funktionen  .

Weiter konvergiere die Folge    -fast überall gegen eine  -messbare Funktion  , und die Folge   werde von einer Funktion   majorisiert, d. h., für alle   gilt    -fast überall.

Dann gilt   für alle   und auch   sowie: Die Folge   konvergiert im p-ten Mittel gegen  , d. h.

 .

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge   mit der Majorante  .

Majorisierte Konvergenz für ZufallsvariablenBearbeiten

Da Zufallsvariablen auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Maßräumen, nämlich den Wahrscheinlichkeitsräumen sind, lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden. Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwächen: Es genügt, dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der stärkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast überall:

Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum,   eine reelle Zahl und sei   eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen.

Weiter konvergiere die Folge   in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable   und die Folge   werde von einer Zufallsvariablen   majorisiert, d. h. für alle   gilt    -fast überall.

Dann sind alle   und auch   in   und es gilt: Die Folge   konvergiert gegen   im Sinne von   und  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Satz von PrattBearbeiten

Aus dem Satz von Pratt lässt sich eine Verallgemeinerung des Satzes von der majorisierten Konvergenz herleiten, die auf der Basis der Konvergenz lokal nach Maß aufbaut. Der Satz von Pratt ist eine maßtheoretische Variante des Einschnürungssatzes, setzt man alle einschnürenden Funktionen als eine integrierbare Majorante, so erhält man die angesprochene Verallgemeinerung.

Konvergenzsatz von VitaliBearbeiten

Der Konvergenzsatz von Vitali liefert eine Äquivalenz zwischen der Konvergenz lokal nach Maß, der gleichgradigen Integrierbarkeit und der Konvergenz im p-ten Mittel. Da aber jede punktweise fast überall konvergente Funktionenfolge auch lokal nach Maß konvergent ist, und die Existenz einer integrierbaren Majorante ein hinreichendes Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit einer Funktionenfolge liefert, ist der Satz der majorisierten Konvergenz sehr ähnlich. Ein Unterschied ist jedoch, dass die Integrierbarkeit der Funktionenfolge gefordert wird.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten