Satz von der monotonen Konvergenz

mathematischer Satz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische FormulierungBearbeiten

Sei   ein Maßraum. Ist   eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen  , die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion   konvergiert, so gilt

 

Variante für fallende FolgenBearbeiten

Ist   eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen   mit  , die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion   konvergiert, so gilt ebenso

 

BeweisideeBearbeiten

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische FormulierungBearbeiten

Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

 .[1]

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist   eine Teil- -Algebra und   integrierbar, so gilt fast sicher

 

Anwendung des Satzes auf FunktionenreihenBearbeiten

Sei   wieder ein Maßraum. Für jede Folge   nichtnegativer, messbarer Funktionen   gilt

 

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge   der Partialsummen. Da die   nichtnegativ sind, ist   monoton wachsend.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2001, ISBN 978-3-519-02395-1. Seiten 116 bis 118