Bochner-Integral

Spezielle Verallgemeinerung des Lebesgue Integrals

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

DefinitionBearbeiten

Es seien   ein  -endlicher, vollständiger Maßraum und   ein Banachraum.

Das Bochner-Integral   einer Funktion   ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

 

mit Faktoren   und messbaren Mengen  , wobei   deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

 ,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von   ist.[1]

Eine Funktion   heißt  -messbar, wenn es eine Folge   einfacher Funktionen gibt, so dass   für  -fast alle   gilt.[2]

Eine  -messbare Funktion   heißt Bochner-integrierbar[3], falls es eine Folge   einfacher Funktionen gibt, so dass

  •   für  -fast alle   gilt und
  • zu jedem   ein   existiert mit
  für alle  .

In diesem Fall ist

 

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge   mit obigen Eigenschaften.[4] Falls   und  , so schreibt man

  mit  

sofern   Bochner-integrierbar ist.[5]

Messbarkeitssatz von PettisBearbeiten

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die  -Messbarkeit:

Die Funktion   ist genau dann  -messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • Für jedes stetige lineare Funktional   ist    -messbar.
  • Es gibt eine  -Nullmenge  , so dass   separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist   ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die  -Messbarkeit  -wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die  -Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-IntegrierbarkeitBearbeiten

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine  -messbare Funktion   ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn   Lebesgue-integrierbar ist.

EigenschaftenBearbeiten

In diesem Abschnitt ist   ein Banachraum und   sind integrierbare Funktionen.

LinearitätBearbeiten

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen   und beliebige   ist auch   integrierbar, und es gilt:

 .

Verkettung mit einem stetigen OperatorBearbeiten

Es sei   ein Banachraum und   ein stetiger linearer Operator. Dann ist   eine integrierbare Funktion und es gilt[6]

 .

Radon–Nikodym-EigenschaftBearbeiten

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.[7]

Bochner-Lebesgue-RäumeBearbeiten

Ist   ein  -endlicher, vollständiger Maßraum und   ein Banachraum, so nennt man den Raum   der Bochner-integrierbaren Funktionen   einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich  -fast gleiche Funktionen identifiziert werden. Man erhält mit der Norm

 

einen Banachraum. Dieser lässt sich wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

 

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

 

definiert, wobei   das projektive Tensorprodukt bezeichne.[8]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
  • Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).
  2. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.
  4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.
  5. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.
  6. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.
  7. Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.
  8. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19