Uneigentliches Integral

Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb nicht im eigentlichen Sinn integrierbar sind.

Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des Riemann-Integrals, des Lebesgue-Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstanden werden. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

Definition

Es gibt zwei Gründe, warum uneigentliche Integrale betrachtet werden. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von $-\infty$ bis $\infty$. Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man uneigentliche Integrale erster Art. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularität haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

Integrationsbereich mit einer kritischen Grenze

Sei $-\infty <a<b\leq \infty$ und $f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R}$ eine Funktion, die über jedem abgeschlossenen Teilintervall $[a,\beta ]\subset [a,b[$ integrierbar ist. Dann ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\beta \nearrow b}\int _{a}^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\,.$

Analog ist das uneigentliche Integral für $-\infty \leq a<b<\infty$ und $f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R}$ definiert.

Existiert der Grenzwert nicht, so nennt man $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ auch ein divergentes Integral.

Integrationsbereich mit zwei kritischen Grenzen

Sei $-\infty \leq a<b\leq \infty$ und $f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R}$ eine Funktion. So ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,,$

wobei $a<c<b$ gilt und die beiden rechten Integrale uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze sind. Ausgeschrieben heißt das

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{\alpha \searrow a}\int _{\alpha }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x+\lim _{\beta \nearrow b}\int _{c}^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x\,.$

Die Konvergenz und der Wert des Integrals hängt nicht von der Wahl von $c$ ab.

Beispiele

Zwei gebrochen-rationale Funktionen

Falls eine Stammfunktion bekannt ist, kann wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle $\beta$ ausgewertet werden und dann der Grenzwert für $\beta \nearrow b$ berechnet werden. Ein Beispiel ist das Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x}}}=2{\sqrt {x}}{\Big |}_{0}^{1}=2\,,$

bei dem der Integrand bei $x=0$ eine Singularität besitzt und daher nicht als (eigentliches) Riemann-Integral existiert. Fasst man das Integral als uneigentliches Riemann-Integral zweiter Art auf, so gilt

$\lim _{\alpha \searrow 0}\int _{\alpha }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \searrow 0}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {\alpha }}\right]=2\,.$

Das Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

hat einen unbeschränkten Definitionsbereich und ist daher ein uneigentliches Integral erster Art. Es gilt

$\lim _{\beta \to \infty }\int _{1}^{\beta }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{\beta \to \infty }\left[-{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{1}}\right]=1\,.$

Gaußsches Fehlerintegral

→ Hauptartikel: Fehlerintegral

Das Gaußsche Fehlerintegral

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}$

ist ein uneigentliches Riemann-Integral erster Art. Im Sinn der lebesgueschen Integrationstheorie existiert das Integral auch im eigentlichen Sinn.

Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann- und Lebesgue-Integralen

• Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar.
• Somit ist jede uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar.
• Es gibt Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, man betrachte etwa das Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x.$

(Es existiert nicht im Lebesgue-Sinn, da für jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch ihr Absolutbetrag Lebesgue-integrierbar ist, was mit nützlichen Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral definierten Funktionenräume einhergeht, die somit beim uneigentlichen Lebesgue-Integral verloren gehen).

• Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die Lebesgue-integrierbar, aber nicht (auch nicht uneigentlich) Riemann-integrierbar sind, z. B. die Dirichlet-Funktion auf einem beschränkten Intervall.

Weblinks

Commons: Improper integral – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Christoph Bock: Elemente der Analysis (PDF; 2,2 MB) Abschnitt 8.33