Uneigentliches Integral

Integral einer Funktion mit Singularitäten bei Konvergenz

Ein uneigentliches Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des Riemann-Integrals, des Lebesgue-Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstanden werden. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

DefinitionBearbeiten

Es gibt zwei Gründe, warum uneigentliche Integrale betrachtet werden. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von   bis  . Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man uneigentliche Integrale erster Art. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularität haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

Integrationsbereich mit einer kritischen GrenzeBearbeiten

Sei   und   eine Funktion. So ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

 

Analog ist das uneigentliche Integral für   und   definiert.[1]

Integrationsbereich mit zwei kritischen GrenzenBearbeiten

Sei   und   eine Funktion. So ist das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

 

wobei   gilt und die beiden rechten Integrale uneigentliche Integrale mit einer kritischen Grenze sind.[1] Ausgeschrieben heißt das

 

Die Konvergenz und der Wert des Integrals hängt nicht von der Wahl von   ab.

BeispieleBearbeiten

Zwei gebrochen rationale FunktionenBearbeiten

Falls eine Stammfunktion bekannt ist, kann wie im eigentlichen Fall das Integral an der benachbarten Stelle   ausgewertet werden und dann der Grenzwert für   berechnet werden. Ein Beispiel ist das Integral

 

bei dem der Integrand bei   eine Singularität besitzt und daher nicht als (eigentliches) Riemann-Integral existiert. Fasst man das Integral als uneigentliches Riemann-Integral zweiter Art auf, so gilt

 

Das Integral

 

hat einen unbeschränkten Definitionsbereich und ist daher ein uneigentliches Integral erster Art. Es gilt

 

Gaußsches FehlerintegralBearbeiten

Das Gaußsche Fehlerintegral

 

ist ein uneigentliches Riemann-Integral erster Art. Im Sinn der lebesgueschen Integrationstheorie existiert das Integral auch im eigentlichen Sinn.

Beziehung zwischen eigentlichen und uneigentlichen Riemann- und Lebesgue-IntegralenBearbeiten

  • Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar.
  • Somit ist jede uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar.
  • Es gibt Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, man betrachte etwa das Integral
 
(Es existiert nicht im Lebesgue-Sinn, da für jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch ihr Absolutbetrag Lebesgue-integrierbar ist, was mit nützlichen Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral definierten Funktionenräume einhergeht, die somit beim uneigentlichen Lebesgue-Integral verloren gehen).
  • Auf der anderen Seite gibt es Funktionen, die Lebesgue-integrierbar, aber nicht (auch nicht uneigentlich) Riemann-integrierbar sind, man betrachte hierzu etwa die Dirichlet-Funktion auf einem beschränkten Intervall.

WeblinksBearbeiten

Commons: Improper integral – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 218.