Zentrierung (Statistik)

Verschiebung der Werte einer Variable um den Mittelwert derselben

Als Mittelwertzentrierung oder kurz Zentrierung wird in der Statistik eine Transformation mit Verschiebung der Werte einer Variable um den arithmetischen Mittelwert dieser Variable verstanden. Man nennt eine Beobachtungsreihe zentriert, wenn ihr arithmetischer Mittelwert Null ist. Um eine Beobachtungsreihe zu zentrieren, ist von jedem Beobachtungswert der arithmetische Mittelwert der Beobachtungsreihe zu subtrahieren.[1] Typisches Beispiel in den Sozialwissenschaften ist die Verschiebung von Altersangaben von Personen um den Mittelwert der Altersangaben einer Grundgesamtheit. Vorteil ist, dass unterdurchschnittliche Werte dadurch negative Vorzeichen erhalten. Ferner ist bei Anwendung multivariater Verfahren die Interpretation einfacher, weil dann nicht an einem unrealistischen Nullpunkt geschätzt wird. Hat eine zentrierte Beobachtungsreihe zusätzlich die empirische Standardabweichung Eins, so spricht man von einer standardisierten Beobachtungsreihe. Ein Spezialfall der Standardisierung ist die Studentisierung. Es gibt eine analoge Zentrierung für Zufallsvariablen, indem eine zentrierte Zufallsvariablen als Differenz von Zufallsvariable und Erwartungswert gebildet wird.

Anwendungsbeispiel Bearbeiten

Die Berechnung der empirischen Varianz   verlangt, dass zuerst aus der Beobachtungsreihe das arithmetische Mittel   bestimmt wird und dann nochmals auf die Beobachtungsreihe zurückgegriffen werden muss, um die Abweichungen   der Merkmalswerte vom arithmetischen Mittel zu bilden.[2] Allerdings kann die empirische Varianz auch mittels des Verschiebungssatzes in der nichtzentrierten Form   dargestellt werden.[3]

Zentrierte Beobachtungen Bearbeiten

Eine Reihe beobachteter Werte   heißt zentriert, falls das arithmetische Mittel der beobachteten Werte Null ist, also

 

gilt.

Für beobachtete Werte   bezeichnet man als Zentrieren den Vorgang, aus den Ausgangsdaten mit

 

die zentrierten Werte   zu bilden. Die so gebildeten zentrierten Werte haben das arithmetische Mittel Null, da

 

Zentrierte Zufallsvariable Bearbeiten

Eine zentrierte Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable mit Erwartungswert Null.[4]

Man erhält eine zentrierte Zufallsvariable, wenn man aus einer Zufallsvariablen  , die einen endlichen Erwartungswert   besitzt, die neue Zufallsvariable   bildet.[4] Dieser Vorgang wird auch als Zentrierung einer Zufallsvariablen bezeichnet. Eine durch Zentrierung entstandene Zufallsvariable   hat stets den Erwartungswert Null, da

 

gilt.[5]

Für eine Zufallsvariable   mit dem endlichen Erwartungswert   ist   das erste zentrale Moment der Zufallsvariablen  .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 110.
  2. Ilona Leyer und Karsten Wesche: Multivariate Statistik in der Ökologie: Eine Einführung. Springer-Verlag, 2007. S. 42.
  3. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 109.
  4. a b P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, zentrierte Zufallsgröße, S. 510.
  5. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 66.