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Von einer Entscheidung unter Risiko spricht man im Rahmen der Entscheidungstheorie dann, wenn der Entscheidungsträger die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der möglichen Umweltzustände kennt. Diese Wahrscheinlichkeiten können sowohl objektiv bekannt sein (Lotto, Roulette) oder auf subjektiven Schätzungen (z. B. aufgrund von Erfahrungswerten) beruhen.

Inhaltsverzeichnis

AllgemeinesBearbeiten

„Entscheidung unter Risiko“ ist nach dem üblichen Sprachgebrauch ein Unterfall der Entscheidung unter Unsicherheit. Während man bei Kenntnis von Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände von Risiko spricht, liegt eine Entscheidung unter Ungewissheit vor, wenn man zwar die möglichen Umweltzustände kennt, jedoch keine Eintrittswahrscheinlichkeiten angeben kann.

Bei Entscheidungen unter Risiko liegt eine sogenannte Ergebnismatrix vor, die das Entscheidungsproblem darstellt: Der Entscheider hat die Wahl zwischen verschiedenen Alternativen  , die abhängig von den möglichen Umweltzuständen   verschiedene Ergebnisse   zur Folge haben. Die Eintrittswahrscheinlichkeiten   der verschiedenen Umweltzustände sind bekannt, wobei gilt:   und  .

Ergebnismatrix
Entscheidung unter Risiko
         
         
       
 
       
 
       

Beispiel

100 € sollen für ein Jahr angelegt werden. Zur Wahl stehen: eine Aktie ( ) oder der Sparstrumpf, der keine Zinsen abwirft ( ). Die möglichen Umweltzustände sind: Der Aktienkurs steigt ( ), er sinkt ( ) oder er bleibt gleich ( ).

Die Ergebnismatrix sieht dann zum Beispiel wie folgt aus:

 
 
 
 
 
 
    120   80   100
    100   100   100

Der Entscheider rechnet mit einer Wahrscheinlichkeit von   damit, dass der Aktienkurs steigt, mit einer Wahrscheinlichkeit von   rechnet er mit einem Sinken des Aktienkurses und mit einer Wahrscheinlichkeit von   bleibt der Kurs unverändert.

Klassische EntscheidungsregelnBearbeiten

Die folgenden Entscheidungsregeln werden auch als klassische Entscheidungsregeln bezeichnet.[1]

Die Bayes-RegelBearbeiten

Bei der Bayes-Regel (auch μ-Regel, Erwartungswert-Regel oder Erwartungswert-Prinzip) orientiert sich der Entscheider nur nach den Erwartungswerten.

 

Da nur der Erwartungswert der jeweiligen Alternative   bewertet wird, ist der Entscheider risikoneutral, er ist beispielsweise indifferent hinsichtlich der Teilnahme an einer Lotterie per Münzwurf, in der er mit 50 % Wahrscheinlichkeit 1 € gewinnt und mit 50 % Wahrscheinlichkeit 1 € verliert. Im obigen Beispiel ist der dann indifferent, wenn gilt:   (da unabhängig von den Wahrscheinlichkeiten   eine sichere „Auszahlung“), hier also:  . Indifferenz würde z. B. vorliegen bei Gleichverteilung, wenn also gilt:  .

Ist Gleichwahrscheinlichkeit gegeben, liegt ein Spezialfall der Bayes-Regel vor, die Laplace-Regel.

BewertungBearbeiten

Das Beispiel des Sankt-Petersburg-Paradoxons zeigt, dass die Berücksichtigung von Erwartungswerten nicht in allen Fällen dem Entscheidungsverhalten von Menschen in der Realität entspricht. Bei der Sankt-Petersburg-Lotterie wird eine faire Münze (d. h. Kopf und Zahl erscheinen jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %) geworfen. Der Spieler erhält als Auszahlung:

  •  , wenn bereits beim ersten Wurf Kopf erscheint
  •  , wenn erst beim zweiten Wurf Kopf erscheint
  •  , wenn erst beim dritten Wurf Kopf erscheint
  •  , wenn erst beim  -ten Wurf Kopf erscheint

Der Erwartungswert entspricht hierbei  

Gemäß der Bayes-Regel wäre ein Entscheider bereit, jeden noch so hohen Betrag – also sein gesamtes Vermögen – für die Teilnahme an der Lotterie zu bezahlen, da der erwartete Gewinn unendlich groß ist. In der Realität ist jedoch kaum jemand bereit, sein gesamtes Vermögen gegen die Teilnahme an der Sankt-Petersburg-Lotterie zu tauschen.[2]

Die μ-σ-RegelBearbeiten

In der μ-σ-Regel oder Erwartungswert-Varianz-Prinzip und deshalb eigentlich μ-σ²-Regel, findet die Risikoeinstellung des Entscheiders dadurch Berücksichtigung, dass auch die Standardabweichung berücksichtigt wird. Bei risikoneutralen Entscheidern entspricht sie der Bayes-Regel, bei risikoaversen (risikoscheuen) Entscheidern sinkt die Attraktivität einer Alternative   mit zunehmender Standardabweichung. Bei risikofreudigen Entscheidern steigt die Attraktivität hingegen.

Der Entscheider wählt die Alternative, die seine Präferenzfunktion maximiert:

 

Eine mögliche Form der μ-σ-Regel ist zum Beispiel:[3]

 

  beschreibt hierbei den Risikoaversionsparameter.

  • Für   gilt: Der Entscheider ist risikofreudig, eine Alternative mit einem höheren   wird einer Alternative mit gleichem Erwartungswert   aber niedrigerem σ vorgezogen.
  • Für   gilt: Der Entscheider ist risikoavers, eine Alternative mit niedrigerem   wird einer Alternative mit gleichem Erwartungswert, aber höherem   vorgezogen.
  • Für   entspricht die Regel der Bayes-Regel, der Entscheider ist risikoneutral, die Standardabweichung   hat keinen Einfluss auf die Bewertung der Alternativen.

Bernoulli-PrinzipBearbeiten

Das Bernoulli-Prinzip wurde von Daniel Bernoulli zur Auflösung des Sankt-Petersburg-Paradoxons vorgeschlagen und gilt unter gewissen Annahmen als rationales Entscheidungskriterium.[4]

Beim Bernoulli-Prinzip werden die Ergebnisse   erst mit Hilfe einer Nutzenfunktion (manchmal auch Risikonutzenfunktion genannt) in Nutzenwerte umgewandelt. Die individuelle Nutzenfunktion   spiegelt dabei die Risikoeinstellung des Entscheiders wider.

Es ist allerdings auch möglich, dass die Nutzenfunktion sowohl konkave als auch konvexe Bereiche aufweist. Dies bildet zum Beispiel die empirisch beobachtbare Tatsache ab, dass Menschen sowohl Lotto spielen (Risikofreude), als auch Versicherungen abschließen (Risikoaversion).[2]

Gewählt wird die Alternative, die den Erwartungswert der Nutzenfunktion maximiert:

 

Beispiel

100 € sollen für ein Jahr angelegt werden. Zur Wahl stehen: eine Aktie ( ) oder der Sparstrumpf, der keine Zinsen abwirft ( ). Die möglichen Umweltzustände sind: Der Aktienkurs steigt ( ), er sinkt ( ) oder er bleibt gleich ( ).
Der Entscheider rechnet mit einer Wahrscheinlichkeit von   damit, dass der Aktienkurs steigt, mit einer Wahrscheinlichkeit von   rechnet er mit einem Sinken des Aktienkurses und mit einer Wahrscheinlichkeit von   bleibt der Kurs unverändert.

Für den Entscheider wird die Nutzenfunktion   angenommen.

 
 
 
 
 
 
 
 
    120   80   100  
    100   100   100  

Bei Anwendung des Bernoulli-Prinzips erhält man den höchsten Nutzenwert von   bei  . Somit ist diese Alternative auszuwählen. Die Form der Nutzenfunktion   ist konkav, deshalb ist die Risikoeinstellung des Entscheiders risikoavers.

Verhältnis zu den klassischen EntscheidungskriterienBearbeiten

Bei einer linearen Nutzenfunktion der Form   entspricht das Bernoulli-Prinzip der Bayes-Regel.

Die μ-σ-Regel ist im Allgemeinen nicht mit dem Bernoulli-Prinzip vereinbar, d. h. eine Präferenzfunktion im Sinne der μ-σ-Regel kann nicht in allen Fällen durch eine äquivalente Nutzenfunktion abgebildet werden und umgekehrt. Möglich ist dies z. B. bei einer quadratischen Nutzenfunktion der Form  , welche zu einer Präferenzfunktion der Form   führt, oder bei normalverteilten zukünftigen Renditen auch in weiteren Fällen.[3]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Helmut Laux, Robert M. Gillenkirch, Heike Y. Schenk-Mathes: Entscheidungstheorie. 9. Auflage. Springer Gabler, 2014, doi:10.1007/978-3-642-55258-8.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Laux (2014), Kap. 4.6
  2. a b Laux (2014), S. 105 f.
  3. a b Werner Gothein: Evaluation von Anlagestrategien. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1995, S. 30, doi:10.1007/978-3-663-08484-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Laux (2014), Kap. 5.4