Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

DefinitionBearbeiten

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion   einer reellen Variable   ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle komplexen Zahlen   durch das Integral

 

definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von   bis   statt über  .

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion  , für   schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

ZusammenhangBearbeiten

Mit der Heaviside-Funktion   lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation   in folgenden Zusammenhang setzen:

 

Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:

 

Mit der Mellin-Transformation   besteht folgender Zusammenhang:

 

und der inversen Beziehung:

 

LiteraturBearbeiten

  • Wilbur R. LePage: Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers. Dover Publications, 1980.
  • Balthasar van der Pol und H. Bremmer: Operational Calculus based on the Two-sided Laplace Transform. Cambridge University Press, 1964.