Singuläres Maß

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Ein singuläres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es spielt eine große Rolle bei der Klassifizierung von Maßen bezüglich eines anderen Maßes und findet besondere Anwendung beim Zerlegungssatz von Lebesgue sowie beim Darstellungssatz in der Stochastik.

DefinitionBearbeiten

Ein (signiertes oder gewöhnliches) Maß   heißt singulär bezüglich eines anderen (signierten oder gewöhnlichen) Maßes   (auch singulär zu   oder  -singulär), wenn es eine Menge   gibt mit

  und  .

Hierbei sind die Maße   und   auf dem gleichen Messraum   definiert. Für „  ist singulär bezüglich  “ schreibt man kurz  .

BeispieleBearbeiten

  • Das Null-Maß ist bezüglich jedes anderen Maßes auf einem beliebigen Messraum singulär.
  • Jedes Dirac-Maß auf   ist bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär.
  • Jede diskrete Verteilung auf   ist bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär.
  • Die Cantor-Verteilung auf dem Messraum   ist eine stetige, singuläre Verteilung bezüglich des Lebesgue-Maßes.
  • Für die Hahn-Jordan-Zerlegung   eines signierten Maßes   gilt  .

EigenschaftenBearbeiten

 .
  • Für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten gilt, dass sie genau dann singulär zueinander sind, wenn ihr Hellingerabstand gleich eins ist.

Wichtige AussagenBearbeiten

Der Zerlegungssatz von Lebesgue liefert für ein signiertes Maß   und ein Maß   eine Zerlegung von   in einen Anteil, der singulär bezüglich   ist und in einen Anteil, der absolut stetig bezüglich   ist.

LiteraturBearbeiten