Zerlegungssatz von Lebesgue

mathematischer Satz

Der Zerlegungssatz von Lebesgue, auch Lebesguescher Zerlegungssatz genannt, ist ein mathematischer Satz aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften verallgemeinerter Volumenbegriffe beschäftigt. Er liefert die Existenz und Eindeutigkeit einer Zerlegung eines signierten Maßes in ein singuläres signiertes Maß und ein absolutstetiges signiertes Maß bezüglich eines gegebenen Maßes. Diese Zerlegung wird dann auch Lebesgue-Zerlegung genannt.

Der Zerlegungssatz von Lebesgue wurde 1910 von Henri Léon Lebesgue für das Lebesgue-Maß auf bewiesen. Eine erste Verallgemeinerung auf Lebesgue-Stieltjes-Maße stammt von Johann Radon, den allgemeinen Beweis führte Hans Hahn.[1]

MotivationBearbeiten

Auf einem Maßraum   lässt sich mit einer quasiintegrierbaren Funktion  , durch

 

ein signiertes Maß   auf   definieren. Die Funktion   wird dann als Dichte von   bezüglich   bezeichnet.   ist dann absolut stetig bezüglich  , das heißt jede  -Nullmenge ist auch eine  -Nullmenge.

Jedes signierte Maß mit einer Dichte   bezüglich   ist folglich absolut stetig bezüglich  . Der Satz von Radon-Nikodým liefert die Umkehrung: Ist ein signiertes Maß absolut stetig bezüglich  , so existiert auch eine Dichtefunktion  , so dass sich das signierte Maß wie oben darstellen lässt.

Diese Fragestellung lässt sich nun erweitern: Kann   , unter der Annahme, dass   nicht absolut stetig bezüglich   ist, in einen absolut stetigen Teil   und einen "singulären" Teil   zerlegt werden? Existieren also signierte Maße   mit  , so dass   absolut stetig bezüglich   ist und   singulär bezüglich   ist? Der Zerlegungssatz von Lebesgue beantwortet diese Frage positiv.

AussageBearbeiten

Gegeben sei ein Messraum   und ein σ-endliches Maß   und ein σ-endliches signiertes Maß   auf diesem Messraum. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung

 

in zwei σ-endliche signierte Maße  , so dass

  •   ist.   ist also absolut stetig bezüglich  
  •   ist.   und   sind also zueinander singulär.

Die signierten Maße   sind genau dann endlich, wenn   endlich ist. Der Zerlegungssatz gilt auch, wenn   ein σ-endliches Maß ist, dann sind   ebenfalls Maße.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 286.

LiteraturBearbeiten