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Die Hausdorff-Dimension wurde von Felix Hausdorff eingeführt und bietet die Möglichkeit, beliebigen metrischen Räumen eine Dimension zuzuordnen. Für einfache geometrische Objekte wie Strecken, Vielecke, Quader und Ähnliches stimmt ihr Wert mit dem des gewöhnlichen Dimensionsbegriffes überein. Im Allgemeinen ist ihr Zahlenwert jedoch nicht unbedingt eine natürliche Zahl, sondern kann auch eine rationale oder eine irrationale Zahl sein, wie beispielsweise bei der Anwendung als fraktale Dimension.

Vereinfachte DefinitionBearbeiten

Die folgende Darstellung ist eine vereinfachte Definition der Hausdorff-Dimension für eine Punktmenge endlicher Ausdehnung in einem dreidimensionalen Raum. Dazu betrachtet man die Anzahl   der Kugeln mit dem Radius  , die mindestens erforderlich ist, um die Punktmenge zu überdecken. Diese Mindestanzahl ist eine Funktion   des Radius  . Je kleiner der Radius ist, umso größer ist  . Aus der Potenz von  , mit der   für den Limes   gegen Null anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension   und zwar nach

 

und damit

 .

Anstelle von Kugeln können ebenso gut Würfel oder vergleichbare Objekte verwendet werden. Bei Punktemengen in der Ebene können auch Kreise zur Überdeckung verwendet werden. Bei Punktmengen in mehr als drei Dimensionen müssen entsprechend höherdimensionale Kugeln verwendet werden.

Für eine gewöhnliche endliche Kurve wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln umgekehrt proportional zum Kugelradius. Eine Kurve hat daher die Hausdorff-Dimension  . Für eine gewöhnliche endliche Fläche wie beispielsweise ein Rechteck wächst die Zahl der erforderlichen Kugeln dagegen proportional zu  . Es gilt daher  .

Für den Spezialfall eines geometrischen Objekts, welches aus   disjunkten Teilobjekten besteht, die im Maßstab   verkleinerte Kopien des Gesamtobjekts darstellen, ergibt sich für die Hausdorff-Dimension  . Haben die   Teilobjekte verschiedene Größe, so ist   durch

 

definiert, wobei   die einzelnen Maßstäbe sind ( ). Man spricht in diesen Fällen auch von Ähnlichkeits-Dimension. Beispiele für die Ähnlichkeits-Dimension:

  1. Ein Quadrat setzt sich aus 9 Quadraten von 1/3 Seitenlänge zusammen, seine Hausdorff-Dimension ist  
  2. Die Koch-Kurve, ein Fraktal, besteht aus 4 jeweils im Maßstab 1:3 verkleinerten Kopien der Gesamtkurve. Es ergibt sich nach   eine nicht-ganzzahlige Dimension.

Es ist jedoch zu beachten, dass diese vereinfachte Definition sich nicht generell mit der exakten Definition (s. u.) deckt. Beispielsweise bei einer Kochkurve mit räumlich variierender Iterationstiefe oder Ähnlichem kann die so definierte Dimension von der tatsächlichen Hausdorff-Dimension abweichen.

Für eine numerische Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer gegebenen Punktmenge lässt sich der so genannte Boxcounting-Algorithmus verwenden. Aber auch hier gilt das nur, solange die Hausdorff-Dimension mit der Boxcounting-Dimension übereinstimmt, was in Spezialfällen nicht zutrifft. Bei einer Einbettung in einen zweidimensionalen Raum überdeckt man die Menge mit einem lückenlosen regelmäßigen Raster aus Quadraten und ermittelt die Zahl der Quadrate, die Punkte aus der Menge enthalten, in Abhängigkeit von der Kantenlänge. Eine numerische Extrapolation der obigen Definitionsgleichung für die Kantenlänge gegen Null liefert näherungsweise die Hausdorff-Dimension.

Definition über das Hausdorff-MaßBearbeiten

Eine mathematisch exakte Definition der Hausdorff-Dimension   einer beschränkten Teilmenge   erfolgt über das Hausdorff-Maß  , das dieser Menge zu jeder Dimension   zugeordnet wird. Danach ist die Hausdorff-Dimension von   definiert als das Infimum aller  , für die   ist, oder äquivalent dazu als das Supremum aller  , für die   gilt, das heißt

 

Für festes   haben also Mengen, deren Hausdorff-Dimension kleiner als   ist, das  -dimensionale Maß null, während Mengen größerer Dimension unendliches  -dimensionales Maß haben. Das entspricht der Tatsache, dass beispielsweise eine Strecke als Teilmenge der Ebene das zweidimensionale Lebesgue-Maß null hat.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes betrachte man die Größe

 

für beliebige   und  , wobei   alle Überdeckungen von   durch abzählbar viele Mengen   durchläuft, deren jeweilige Durchmesser   kleiner als   sind. Das  -dimensionale Hausdorff-Maß von   ist nun definiert als

 

BeispielBearbeiten

Die Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer eindimensionalen Strecke anhand der Menge   erfolgt folgendermaßen:

1. Das Hausdorff-Maß für  :

Für   sei die natürliche Zahl   so gewählt, dass   gilt. Mit der speziellen Überdeckung
  für  ,   für  
folgt
 
also
 

2. Das Hausdorff-Maß für  :

Wegen   ist
 
Da die   das Einheitsintervall   überdecken, ist die Summe ihrer Durchmesser mindestens 1:
 
Damit folgt
 
also
 

3. Das Hausdorff-Maß für  :

Setzt man die beiden Argumente aus dem ersten und zweiten Fall zusammen, dann erhält man  

Es ist also  .

LiteraturBearbeiten

  • Egbert Brieskorn (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis, Vieweg Verlag 1996, ISBN 3-528-06493-5, u. a. Seiten 185 ff.