Multiple lineare Regression

statistisches Verfahren zur Beschreibung einer beobachteten abhängigen Variablen durch mehrere unabhängige Variablen

In der Statistik ist die multiple lineare Regression, auch mehrfache lineare Regression (kurz: MLR) oder lineare Mehrfachregression genannt, ein regressionsanalytisches Verfahren und ein Spezialfall der linearen Regression. Die multiple lineare Regression ist ein statistisches Verfahren, mit dem versucht wird, eine beobachtete abhängige Variable durch mehrere unabhängige Variablen zu erklären. Das dazu verwendete Modell ist linear in den Parametern, wobei die abhängige Variable eine Funktion der unabhängigen Variablen ist. Diese Beziehung wird durch eine additive Störgröße überlagert. Die multiple lineare Regression stellt eine Verallgemeinerung der einfachen linearen Regression bzgl. der Anzahl der Regressoren dar.

Das klassische Modell der linearen MehrfachregressionBearbeiten

Regressionshyperebene, die sich an eine „Punktwolke“ im dreidimensionalen Raum anpasst (Fall  )

Im Folgenden wird von linearen Funktionen ausgegangen. Es ist dann keine weitere Beschränkung der Allgemeinheit, dass diese Funktionen direkt aus den unabhängigen (erklärenden, exogenen) Variablen bestehen und es ebenso viele zu schätzende Regressionsparameter   gibt wie unabhängige Variablen   (Index  ). Zum Vergleich: In der einfachen linearen Regression ist   und   konstant gleich  , der zugehörige Regressionsparameter also der Achsenabschnitt.

Das Modell für   Messungen der abhängigen (endogenen) Variablen   ist also

 ,

mit Störgrößen  , die rein zufällig sind, falls das lineare Modell passt. Für das Modell wird weiterhin angenommen, dass die Gauß-Markow-Annahmen gelten. In einem stichprobentheoretischen Ansatz wird jedes Stichprobenelement   als eine eigene Zufallsvariable interpretiert, ebenso jedes  .

Liegen die Daten

 

vor, so ergibt sich folgendes lineare Gleichungssystem:

 

Das multiple lineare Regressionsmodell (selten und doppeldeutig allgemeines lineares Modell) lässt sich in Matrixschreibweise wie folgt formulieren

 .

Dies ist das zugrundeliegende Modell in der Grundgesamtheit und wird auch als „wahres Modell“ bezeichnet. Hierbei stehen  ,   und   für die Vektoren bzw. Matrizen:

    und  

und   eine  -Matrix (Versuchsplan- oder Datenmatrix):

 , wobei  

Aufgrund der unterschiedlichen Schreibweisen für   lässt sich erkennen, dass sich das Modell   auch darstellen lässt als:

 

mit

 ,

hierbei ist   die beobachtete abhängige Variable für Beobachtung   und  , sind die unabhängigen Variablen. Wie gewöhnlich ist,   das Absolutglied und   sind unbekannte skalare Steigungsparameter. Die Störgröße   für Beobachtung   ist eine unbeobachtbare Zufallsvariable. Der Vektor   ist der transponierte Vektor der Regressoren und   wird auch als linearer Prädiktor bezeichnet.

Die wesentliche Voraussetzung an das multiple lineare Regressionsmodell ist, dass es bis auf die Störgröße   das „wahre Modell“ beschreibt. Dabei wird in der Regel nicht genau spezifiziert, von welcher Art die Störgröße ist; sie kann beispielsweise von zusätzlichen Faktoren oder Messfehlern herrühren. Jedoch nimmt man als Grundvoraussetzung an, dass dessen Erwartungswert (in allen Komponenten) 0 ist:   (Annahme 1). Diese Annahme bedeutet, dass das Modell grundsätzlich für korrekt gehalten wird und die beobachtete Abweichung als zufällig angesehen wird oder von vernachlässigbaren äußeren Einflüssen herrührt. Typisch ist die Annahme, dass die Komponenten des Vektors unkorreliert sind (Annahme 2) und dieselbe Varianz   besitzen (Annahme 3), wodurch sich mit Hilfe klassischer Verfahren wie der Methode der kleinsten Quadrate (englisch ordinary least squares, kurz: OLS) einfache Schätzer für die unbekannten Parameter   und   ergeben. Die Methode wird daher auch (multiple lineare) KQ-Regression (englisch OLS regression) genannt.

Zusammenfassend wird für die Störgrößen angenommen, dass

  • (A1) sie den Erwartungswert null haben:  ,
  • (A2) unkorreliert sind:   und
  • (A3) eine homogene Varianz haben:   (skalare Kovarianzmatrix).

Hierbei bezeichnet   den Nullvektor und   die Einheitsmatrix der Dimension  . Die oben genannten Annahmen sind die Annahmen der klassischen linearen Regression. Das Modell (die Gleichung   zusammen mit obigen Annahmen) wird daher das klassische Modell der linearen Mehrfachregression genannt.

Statt nur die Varianzen und Kovarianzen der Störgrößen einzeln zu betrachten, werden diese in folgender Kovarianzmatrix zusammengefasst:

 

Somit gilt für  

  mit  .

Über diese grundlegende Annahme hinaus sind grundsätzlich alle Verteilungsannahmen an   erlaubt. Wird zudem vorausgesetzt, dass der Vektor   mehrdimensional normalverteilt ist, lässt sich ferner zeigen, dass die beiden Schätzer Lösungen der Maximum-Likelihood-Gleichungen sind (siehe #Statistische Inferenz). In diesem Modell ist die Unabhängigkeit der Störgrößen dann gleichbedeutend mit der der  .

Schätzung des Parametervektors mit der Kleinste-Quadrate-SchätzungBearbeiten

Auch im multiplen linearen Regressionsmodell wird der Vektor der Störgrößen mithilfe der Kleinste-Quadrate-Schätzung (KQ-Schätzung) minimiert, das heißt, es soll   so gewählt werden, dass die euklidische Norm   minimal wird. Im Folgenden wird der Ansatz benutzt, dass die Residuenquadratsumme minimiert wird. Dazu wird vorausgesetzt, dass   den Rang   hat. Dann ist   invertierbar und man erhält als Minimierungsproblem:

 [1]

Die Bedingung erster Ordnung (Nullsetzen des Gradienten) lautet:

 
 
Die Kleinste-Quadrate-Schätzung kann als eine Projektion auf die Ebene, die durch die Regressoren aufgespannt wird, interpretiert werden.

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung lauten:

 

Dies zeigt, dass sich die Bedingung erster Ordnung für den Vektor   der geschätzten Regressionsparameter kompakt darstellen lässt als:

 

bzw.

 .

Dieses lineare Gleichungssystem wird in der Regel (Gaußsches) Normalgleichungssystem genannt.

Da die Matrix   den Rang   hat, ist die quadratische symmetrische Matrix   nichtsingulär und die Inverse für   existiert. Daher erhält man nach linksseitiger Multiplikation mit der Inversen der Produktsummenmatrix   als Lösung des Minimierungsproblems den folgenden Vektor der geschätzten Regressionskoeffizienten:[2]

 

Wenn der Rang von   kleiner als   ist, dann ist   nicht invertierbar, also das Normalgleichungssystem nicht eindeutig lösbar, mithin   nicht identifizierbar, siehe hierzu aber den Begriff der Schätzbarkeit. Da   die Residuenquadratsumme minimiert, wird   auch Kleinste-Quadrate-Schätzer (kurz: KQ-Schätzer) genannt.[3] Alternativ kann der Kleinste-Quadrate-Schätzer durch Einsetzen des wahren Modells   auch dargestellt werden als[4]

 

Für die Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzers ergibt sich (dargestellt in kompakter Form):[5]

 

Im Fall der linearen Einfachregression ( ) reduziert sich die obigen Formel auf die bekannten Ausdrücke für die Varianzen der KQ-Schätzer   und   (siehe Statistische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-Schätzer).[6]

Beweis
 

Man erhält mit Hilfe des Kleinste-Quadrate-Schätzers   das Gleichungssystem

 ,

wobei   der Vektor der Residuen und   die Schätzung für   ist. Das Interesse der Analyse liegt oft in der Schätzung   oder in der Vorhersage der abhängigen Variablen   für ein gegebenes Tupel von  . Diese berechnet sich als

 .

Güteeigenschaften des Kleinste-Quadrate-SchätzersBearbeiten

ErwartungstreueBearbeiten

Im multiplen Fall kann man genauso wie im einfachen Fall zeigen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzvektor erwartungstreu für   ist. Dies gilt allerdings nur, wenn die Annahme der Exogenität der Regressoren gegeben ist. Dies ist der Fall, wenn die möglicherweise zufälligen Regressoren und die Störgrößen unkorreliert sind, d. h. wenn   gilt. Wenn man also hier voraussetzt, dass die exogenen Variablen keine Zufallsvariablen sind, sondern wie in einem Experiment kontrolliert werden können, gilt   bzw.   und damit ist   erwartungstreu für  .

Beweis
 

Falls die Exogenitätsannahme nicht zutrifft,  , ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer nicht erwartungstreu. Es liegt also eine Verzerrung (englisch bias) vor, d. h., „im Mittel“ weicht der Parameterschätzer vom wahren Parameter ab:

 .

Der Erwartungswert des Kleinste-Quadrate-Parametervektor für   ist also nicht gleich dem wahren Parameter  , siehe dazu auch unter Regression mit stochastischen Regressoren.

EffizienzBearbeiten

Der Kleinste-Quadrate-Schätzer ist linear:

 .

Nach dem Satz von Gauß-Markow ist der Schätzer  , bester linearer erwartungstreuer Schätzer (BLES bzw. englisch Best Linear Unbiased Estimator, kurz: BLUE), das heißt, er ist derjenige lineare erwartungstreue Schätzer, der unter allen linearen erwartungstreuen Schätzern die kleinste Varianz bzw. Kovarianzmatrix besitzt. Für diese Eigenschaften der Schätzfunktion   braucht keine Verteilungsinformation der Störgröße vorzuliegen. Wenn die Störgrößen normalverteilt sind, ist   Maximum-Likelihood-Schätzer und nach dem Satz von Lehmann-Scheffé beste erwartungstreue Schätzung (BES bzw. englisch Best Unbiased Estimator, kurz: BUE).

KonsistenzBearbeiten

Der KQ-Schätzer ist unter den bisherigen Annahmen erwartungstreu für   ( ), wobei die Stichprobengröße   keinen Einfluss auf die Erwartungstreue hat (schwaches Gesetz der großen Zahlen). Ein Schätzer ist genau dann konsistent für den wahren Wert, wenn er in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Wert konvergiert (englisch probability limit, kurz: plim). Die Eigenschaft der Konsistenz bezieht also das Verhalten des Schätzers mit ein, wenn die Anzahl der Beobachtungen größer wird.

Für die Folge   gilt, dass sie in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameterwert   konvergiert

 

oder vereinfacht ausgedrückt   bzw.  

Die Grundlegende Annahme, um die Konsistenz des KQ-Schätzers sicherzustellen lautet

 ,

d. h. man geht davon aus, dass das durchschnittliche Quadrat der beobachteten Werte der erklärenden Variablen auch bei einem ins Unendliche gehendem Stichprobenumfang endlich bleibt (siehe Produktsummenmatrix#Asymptotische Resultate). Außerdem nimmt man an, dass

 .

Die Konsistenz kann wie folgt gezeigt werden:[7]

Beweis
 

Hierbei wurde das Slutsky-Theorem und die Eigenschaft verwendet, dass wenn   deterministisch bzw. nichtstochastisch ist   gilt.

Folglich ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer konsistent für  . Die Eigenschaft besagt, dass mit steigender Stichprobengröße die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzer   vom wahren Parameter   abweicht, sinkt. Weiterhin lässt sich durch das Chintschin-Theorem zeigen, dass für die durch die KQ-Schätzung gewonnene Störgrößenvarianz gilt, dass sie konsistent für   ist, d. h.  .

Beweis

Dazu schreibt man zunächst die geschätzte Störgrößenvarianz wie folgt um

 

Damit ergibt sich als Wahrscheinlichkeitslimes

 

Somit ist   ein konsistenter Schätzer für  .

Verbindung zur optimalen VersuchsplanungBearbeiten

Wenn die Werte der unabhängigen Variablen   einstellbar sind, kann durch optimale Wahl dieser Werte die Matrix   (d. h. bis auf einen Faktor die Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzers) im Sinne der Loewner-Halbordnung „verkleinert“ werden. Das ist eine Hauptaufgabe der optimalen Versuchsplanung.

Residuen und geschätzte ZielwerteBearbeiten

Die Schätzwerte der   berechnen sich mithilfe des KQ-Schätzers   als

 ,

wobei man dies auch kürzer als

  mit  

schreiben kann. Die Projektionsmatrix   ist die Matrix der Orthogonalprojektion auf den Spaltenraum von   und hat maximal den Rang  . Sie wird auch Prädiktionsmatrix genannt, da sie die vorhergesagten Werte ( -Werte) generiert wenn man die Matrix auf die  -Werte anwendet. Die Prädiktionsmatrix beschreibt numerisch die Projektion von   auf die durch   definierte Ebene.

Der Residualvektor lässt sich mittels der Prädiktionsmatrix darstellen als:  .

Die Matrix   wird auch als Residualmatrix bezeichnet und mit   abgekürzt. Ferner ist die Residuenquadratsumme als nichtlineare Transformation Chi-Quadrat-verteilt mit   Freiheitsgraden. Dies zeigt folgende Beweisskizze:

Beweisskizze

Sei

 ,

damit erhält man

 ,

wobei

 

und der Satz von Cochran verwendet wurden.

Außerdem gilt ebenso

 .

Erwartungstreue Schätzung des unbekannten VarianzparametersBearbeiten

Obwohl manchmal angenommen wird, dass die Störgrößenvarianz   bekannt ist, muss man davon ausgehen, dass sie in den meisten Anwendungsfällen unbekannt ist (beispielsweise bei der Schätzung von Nachfrageparametern in ökonomischen Modellen, oder Produktionsfunktionen). Ein naheliegender Schätzer des Vektors der Störgrößen   ist der Residulavektor  , der aus der Regression gewonnen wird. Die in den Residuen steckende Information könnte also für einen Schätzer der Störgrößenvarianz genutzt werden. Aufgrund der Tatsache, dass   gilt, ist   aus frequentistischer Sicht der „Mittelwert“ von  . Die Größe   ist aber unbeobachtbar, da die Störgrößen unbeobachtbar sind. Wenn man statt   nun das beobachtbare Pendant   benutzt, führt dies zum Schätzer:

 ,

wobei   die Residuenquadratsumme darstellt. Allerdings erfüllt der Schätzer nicht gängige Qualitätskriterien für Punktschätzer und wird daher nicht oft genutzt.[8] Beispielsweise ist der Schätzer nicht erwartungstreu für  . Dies liegt daran, dass der Erwartungswert der Residuenquadratsumme   ergibt und daher für den Erwartungswert dieses Schätzers   gilt.[9] Eine erwartungstreue Schätzung für  , d. h. eine Schätzung die   erfüllt, ist in der multiplen linearen Regression gegeben ist durch das mittlere Residuenquadrat

  mit dem Kleinste-Quadrate-Schätzer  .

Wenn nun bei der Kovarianzmatrix des KQ-Schätzvektors   durch   ersetzt wird ergibt sich für die geschätzte Kovarianzmatrix des KQ-Schätzers

 .

Statistische InferenzBearbeiten

Für die statistische Inferenz (Schätzen und Testen) wird noch die Information über die Verteilung des Vektors der Störgrößen   gefordert. Bedingt auf die Datenmatrix   sind die   unabhängig und identisch verteilt und folgen einer  -Verteilung. Äquivalent ist   (bedingt auf  ) mehrdimensional normalverteilt mit dem Erwartungswert   und der Kovarianzmatrix  , d. h.

 

Hier sind stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auch unkorreliert. Weil der Störgrößenvektor mehrdimensional normalverteilt ist folgt daraus, dass auch der Regressand mehrdimensional normalverteilt ist ( ). Aufgrund der Tatsache, dass beim KQ-Schätzer die einzige zufällige Komponente   ist, folgt für den Parametervektor  , dass er ebenfalls normalverteilt ist:  .

Multiples BestimmtheitsmaßBearbeiten

Das Bestimmtheitsmaß   ist eine Maßzahl für die Güte (Bestimmtheit) einer multiplen linearen Regression. In der multiplen linearen Regression, lässt sich das Bestimmtheitsmaß darstellen als[10]

 .

oder

 .

Die Besonderheit beim multiplen Bestimmtheitsmaß ist, dass es nicht wie in der einfachen linearen Regression dem quadrierten Korrelationskoeffizienten zwischen   und  , sondern dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten zwischen den Messwerten   und den Schätzwerten   entspricht (für einen Beweis, siehe Matrixschreibweise).

Test auf Gesamtsignifikanz eines ModellsBearbeiten

Hat man eine Regression ermittelt, ist man auch an der Güte dieser Regression interessiert. Im Fall   für alle   wird häufig als Maß für die Güte das Bestimmtheitsmaß   verwendet. Generell gilt, je näher der Wert des Bestimmtheitsmaßes bei   liegt, desto besser ist die Güte der Regression. Ist das Bestimmtheitsmaß klein, kann man seine Signifikanz durch das Hypothesenpaar

   gegen   ,

mit der Prüfgröße

 

testen (siehe Bestimmtheitsmaß#Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells). Die Prüfgröße   ist F-verteilt mit   und   Freiheitsgraden. Überschreitet die Prüfgröße bei einem Signifikanzniveau   den kritischen Wert  , das  -Quantil der F-Verteilung mit   und   Freiheitsgraden, wird   abgelehnt.   ist dann ausreichend groß, mindestens ein Regressor trägt also vermutlich genügend viel Information zur Erklärung von   bei.

Unter den Voraussetzungen des klassischen linearen Regressionsmodells ist der Test ein Spezialfall der einfachen Varianzanalyse. Für jeden Beobachtungswert   ist die Störgröße   und damit  -verteilt (mit   der wahre Regressionswert in der Grundgesamtheit), d. h., die Voraussetzungen der Varianzanalyse sind erfüllt. Sind alle  -Koeffizienten gleich null, so ist dies äquivalent zur Nullhypothese der Varianzanalyse:  .

Die Residualanalyse, bei der man die Residuen über den unabhängigen Variablen aufträgt, gibt Aufschluss über

Ein Ziel bei der Residualanalyse ist es, die Voraussetzung der Residuen   zu überprüfen. Hierbei ist es wichtig zu beachten, dass

 

gilt. Das Residuum   ist mit der Formel   berechenbar. Im Gegensatz hierzu ist die Störgröße   nicht berechenbar oder beobachtbar. Nach den oben getroffenen Annahmen soll für alle Störgrößen gelten

 

Es liegt somit eine Varianzhomogenität vor. Dieses Phänomen wird auch als Homoskedastizität bezeichnet und ist auf die Residuen übertragbar. Dies bedeutet: Wenn man die unabhängigen Variablen   gegen die Residuen   aufträgt, sollten keine systematischen Muster erkennbar sein.

In den obigen drei Grafiken wurden die unabhängigen Variablen   gegen die Residuen   abgetragen, und im Beispiel 1 sieht man, dass hier tatsächlich kein erkennbares Muster in den Residuen vorliegt, d. h., dass die Annahme der Varianzhomogenität erfüllt ist. In den Beispielen 2 und 3 dagegen ist diese Annahme nicht erfüllt: Man erkennt ein Muster. Zur Anwendung der linearen Regression sind daher hier zunächst geeignete Transformationen durchzuführen. So ist im Beispiel 2 ein Muster zu erkennen, das an eine Sinus-Funktion erinnert, womit hier eine Daten-Transformation der Form   denkbar wäre, während im Beispiel 3 ein Muster zu erkennen ist, das an eine Parabel erinnert, in diesem Fall also eine Daten-Transformation der Form   angebracht sein könnte.

Beitrag der einzelnen Regressoren zur Erklärung der abhängigen VariablenBearbeiten

Man ist daran interessiert, ob man einzelne Parameter oder Regressoren aus dem Regressionsmodell entfernen kann, ob also ein Regressor nicht (oder nur gering) zur Erklärung von   beiträgt. Dies ist dann möglich, falls ein Parameter   gleich null ist, somit testet man die Nullhypothese  . Das heißt, man testet, ob der  -te Parameter gleich Null ist. Wenn dies der Fall ist, kann der zugehörige  -te Regressor   aus dem Modell entfernt werden. Der Vektor   ist als lineare Transformation von   wie folgt verteilt:

 

Wenn man die Varianz der Störgrößen schätzt, erhält man für die geschätzte Kovarianzmatrix des Kleinste-Quadrate-Schätzers

 .

Die geschätzte Varianz   eines Regressionsparameters   steht als  -tes Diagonalelement in der geschätzten Kovarianzmatrix. Es ergibt sich die Prüfgröße

 ,

wobei die Wurzel der geschätzten Varianz   des  -ten Parameters den (geschätzten) Standardfehler des Regressionskoeffizienten   darstellt.

Die Prüf- bzw. Pivotstatistik ist t-verteilt mit   Freiheitsgraden. Ist   größer als der kritische Wert  , dem  -Quantil der  -Verteilung mit   Freiheitsgraden, wird die Hypothese abgelehnt. Somit wird der Regressor   im Modell beibehalten und der Beitrag des Regressors   zur Erklärung von   ist signifikant groß, d. h. signifikant von null verschieden.

VorhersageBearbeiten

Ein einfaches Modell zur Vorhersage von endogenen Variablen ergibt sich durch

 ,

wobei   den Vektor von zukünftigen abhängigen Variablen und   die Matrix der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt   darstellt.

Die Vorhersage wird wie folgt dargestellt:  , woraus sich folgender Vorhersagefehler ergibt:  

Eigenschaften des Vorhersagefehlers:

Der Vorhersagefehler ist im Mittel null:  

Die Kovarianzmatrix des Vorhersagefehlers lautet:  

Ermittelt man einen Vorhersagewert, möchte man möglicherweise wissen, in welchem Intervall sich die vorhergesagten Werte mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit bewegen. Man wird also ein Vorhersageintervall für den durchschnittlichen Vorhersagewert   ermitteln. Im Fall der linearen Einfachregression ergibt sich für die Varianz des Vorhersagefehlers

 .

Man erhält dann als  Vorhersageintervall für die Varianz des Vorhersagefehlers

 .

Speziell für den Fall der einfachen linearen Regression ergibt sich das Vorhersageintervall:[11]

 

Aus dieser Form des Vorhersageintervalls erkennt man sofort, dass das Vorhersageintervall breiter wird, wenn sich die exogene Vorhersagevariable   vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der endogenen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.

Das verallgemeinerte Modell der linearen MehrfachregressionBearbeiten

Beim verallgemeinerten Modell der linearen Mehrfachregression wird für die Strukturbeziehung   zugelassen, dass die Störgrößen heteroskedastisch und autokorreliert sind. Die Kovarianzmatrix des Störgrößenvektors ist dann nicht wie gewöhnlich unter den Gauß-Markow-Annahmen  , sondern hat die Struktur  , wobei   als eine beliebige bekannte reelle nichtsinguläre positiv definite   Matrix angenommen wird und   ein noch unbekannter Skalar darstellt. Das resultierende Modell   mit   nennt man verallgemeinertes (multiples) lineares Regressionsmodell (mit fixen Regressoren), kurz VLR.[12]

Polynomiale RegressionBearbeiten

Die polynomiale Regression ist ein Spezialfall der multiplen linearen Regression. Das multiple lineare Regressionsmodell wird auch zur Lösung von speziellen (im Hinblick auf die erklärenden Variablen) nichtlinearen Regressionsproblemen herangezogen. Bei der polynomialen Regression wird der Erwartungswert der abhängigen Variablen von den erklärenden Variablen mithilfe eines Polynoms vom Grade  , also durch die Funktionsgleichung

 

beschrieben. Man erhält ein multiples lineares Regressionsmodell mit der oben genannten Regressionsfunktion, wenn man für die Potenzen von   die Bezeichnungen   einführt. Im Falle   spricht man von quadratischer Regression.[13]

BeispielBearbeiten

Zur Illustration der multiplen Regression wird im folgenden Beispiel untersucht, wie die abhängige Variable  : Bruttowertschöpfung (in Preisen von 95; bereinigt, Mrd. Euro) von den unabhängigen Variablen „Bruttowertschöpfung nach Wirtschaftsbereichen Deutschland (in jeweiligen Preisen; Mrd. EUR)“ abhängt. Die Daten sind im Portal Statistik zu finden. Da man in der Regel die Berechnung eines Regressionsmodells am Computer durchführt, wird in diesem Beispiel exemplarisch dargestellt, wie eine multiple Regression mit der Statistik-Software R durchgeführt werden kann.

Variable Beschreibung der Variablen
  Bruttowertschöpfung in Preisen von 95 (bereinigt)
  Bruttowertschöpfung von Land- und Forstwirtschaft, Fischerei
  Bruttowertschöpfung des produzierenden Gewerbes ohne Baugewerbe
  Bruttowertschöpfung im Baugewerbe
  Bruttowertschöpfung von Handel, Gastgewerbe und Verkehr
  Bruttowertschöpfung durch Finanzierung, Vermietung und Unternehmensdienstleister
  Bruttowertschöpfung von öffentlichen und privaten Dienstleistern

Zunächst lässt man sich ein Streudiagramm ausgeben. Es zeigt, dass die gesamte Wertschöpfung offensichtlich mit den Wertschöpfungen der wirtschaftlichen Bereiche positiv korreliert ist. Das erkennt man daran, dass die Datenpunkte in der ersten Spalte der Grafik in etwa auf einer Geraden mit einer positiven Steigung liegen. Auffällig ist, dass die Wertschöpfung im Baugewerbe negativ mit den anderen Sektoren korreliert. Dies erkennt man daran, dass in der vierten Spalte die Datenpunkte näherungsweise auf einer Geraden mit einer negativen Steigung liegen.

In einem ersten Schritt gibt man das Modell mit allen Regressoren in R ein:

lm(BWSb95~BBLandFF+BBProdG+BBBau+BBHandGV+BBFinVerm+BBDienstÖP)

Anschließend lässt man sich in R ein Summary des Modells mit allen Regressoren ausgeben, dann erhält man folgende Auflistung:

Residuals:
    Min     1Q      Median  3Q     Max
    −1.5465 −0.8342 −0.1684 0.5747 1.5564

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 145.6533 30.1373 4.833 0.000525 ***
BBLandFF      0.4952  2.4182 0.205 0.841493
BBProdG       0.9315  0.1525 6.107 7.67e−05 ***
BBBau         2.1671  0.2961 7.319 1.51e−05 ***
BBHandGV      0.9697  0.3889 2.494 0.029840 *
BBFinVerm     0.1118  0.2186 0.512 0.619045
BBDienstÖP    0.4053  0.1687 2.402 0.035086 *
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.222 on 11 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9889, Adjusted R-squared: 0.9828
F-statistic: 162.9 on 6 and 11 DF, p-value: 4.306e−10

Der globale F-Test ergibt eine Prüfgröße von  . Diese Prüfgröße hat einen p-Wert von  , somit ist die Anpassung signifikant gut.

Die Analyse der einzelnen Beiträge der Variablen (Tabelle Coefficients) des Regressionsmodells ergibt bei einem Signifikanzniveau von  , dass die Variablen   und   offensichtlich die Variable   nur unzureichend erklären können. Dies erkennt man daran, dass die zugehörigen  -Werte zu diesen beiden Variablen verhältnismäßig klein sind, und somit die Hypothese, dass die Koeffizienten dieser Variablen null sind, nicht verworfen werden kann.

Die Variablen   und   sind gerade noch signifikant. Besonders stark korreliert ist   (in diesem Beispiel also  ) mit den Variablen   und  , was man an den zugehörigen hohen  -Werten erkennen kann.

Im nächsten Schritt werden die nicht-signifikanten Regressoren   und   aus dem Modell entfernt:

lm(BWSb95~BBProdG+BBBau+BBHandGV+BBDienstÖP)

Anschließend lässt man sich wiederum ein Summary des Modells ausgeben, dann erhält man folgende Auflistung:

Residuals:
     Min      1Q       Median   3Q      Max
     −1.34447 −0.96533 −0.05579 0.82701 1.42914

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 158.00900 10.87649 14.528 2.05e−09 ***
BBProdG       0.93203  0.14115  6.603 1.71e−05 ***
BBBau         2.03613  0.16513 12.330 1.51e−08 ***
BBHandGV      1.13213  0.13256  8.540 1.09e−06 ***
BBDienstÖP    0.36285  0.09543  3.802 0.0022 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.14 on 13 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9886, Adjusted R-squared: 0.985
F-statistic: 280.8 on 4 and 13 DF, p-value: 1.783e−12

Dieses Modell liefert eine Prüfgröße von  . Diese Prüfgröße hat einen p-Wert von  , somit ist die Anpassung besser als im ersten Modell. Dies ist vor allem darauf zurückzuführen, dass in dem jetzigen Modell alle Regressoren signifikant sind.

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Einführung in die Regressionsrechnung – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Lineare Regression – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

LiteraturBearbeiten

  • Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. Wiley, New York 1998.
  • Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg/ New York 2007, ISBN 978-3-540-33932-8.
  • Dieter Urban, Jochen Mayerl: Regressionsanalyse: Theorie, Technik und Anwendung. 2. überarb. Auflage. VS Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-531-33739-4.
  • G. Judge, R. Carter Hill: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 1998.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1.   bezeichnet analog zu  (Argument des Maximums) das Argument des Minimums
  2. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2nd Ed. John Wiley & Sons, New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapur 1988, ISBN 0-471-62414-4 S. 192.
  3. Alvin C. Rencher, G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008, S. 143
  4. Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie. 2. aktualisierte Auflage, Pearson, 2008., ISBN 978-3-86894-156-2, S. 48.
  5. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2nd Ed. John Wiley & Sons, New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapur 1988, ISBN 0-471-62414-4 S. 201.
  6. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2nd Ed. John Wiley & Sons, New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapur 1988, ISBN 0-471-62414-4 S. 168.
  7. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2nd Ed. John Wiley & Sons, New York/Chichester/Brisbane/Toronto/Singapur 1988, ISBN 0-471-62414-4 S. 266.
  8. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 109.
  9. Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 109.
  10. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 29 (abgerufen über De Gruyter Online).
  11. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013, S. 135.
  12. Fritz Pokropp: Lineare Regression und Varianzanalyse 2015, ISBN 978-3-486-78668-2, S. 108 (abgerufen über De Gruyter Online).
  13. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 3. Auflage. 2013, S. 342.