Lineare Einfachregression

In der Statistik ist die lineare Einfachregression, oder auch einfache lineare Regression (kurz: ELR, selten univariate lineare Regression) genannt, ein regressionsanalytisches Verfahren und ein Spezialfall der linearen Regression. Die Bezeichnung einfach gibt an, dass bei der linearen Einfachregression nur eine unabhängige Variable verwendet wird, um die Zielgröße zu erklären. Ziel ist die Schätzung von Achsenabschnitt und Steigung der Regressionsgeraden sowie die Schätzung der Varianz der Störgrößen.

Dieses Streudiagramm zeigt eine konkrete empirische Regressionsgerade einer linearen Einfachregression, die bestmöglich durch die „Punktwolke“ der Messung gelegt wurde.

Einführung in die ProblemstellungBearbeiten

Das Ziel einer Regression ist es, eine abhängige Variable durch eine oder mehrere unabhängige Variablen zu erklären. Bei der einfachen linearen Regression wird eine abhängige Variable durch lediglich eine unabhängige Variable erklärt. Das Modell der linearen Einfachregression geht daher von zwei metrischen Größen aus: einer Einflussgröße   (auch: erklärende Variable, Regressor oder unabhängige Variable) und einer Zielgröße   (auch: endogene Variable, abhängige Variable, erklärte Variable oder Regressand). Des Weiteren liegen   Paare   von Messwerten vor (die Darstellung der Messwerte   im  - -Diagramm wird im Folgenden Streudiagramm bezeichnet), die in einem funktionalen Zusammenhang stehen, der sich aus einem systematischen und einem stochastischen Teil zusammensetzt:

 

Die stochastische Komponente beschreibt nur noch zufällige Einflüsse (z. B. zufällige Abweichungen wie Messfehler), alle systematischen Einflüsse sind in der systematischen Komponente enthalten. Die lineare Einfachregression stellt den Zusammenhang zwischen der Einfluss- und der Zielgröße mithilfe von zwei festen, unbekannten, reellen Parametern   und   auf lineare Weise her, d. h. die Regressionsfunktion   wird wie folgt spezifiziert:

  (Linearität)

Dadurch ergibt sich das Modell der linearen Einfachregression wie folgt:  . Hierbei ist   die abhängige Variable und stellt eine Zufallsvariable dar. Die  -Werte sind beobachtbare, nicht zufällige Messwerte, der bekannten erklärenden Variablen  ; die Parameter   und   sind unbekannte skalare Regressionsparameter und   ist eine zufällige und unbeobachtbare Störgröße. Bei der einfachen linearen Regression wird also eine Gerade so durch das Streudiagramm gelegt, dass der lineare Zusammenhang zwischen   und   möglichst gut beschrieben wird.

Einführendes BeispielBearbeiten

Eine renommierte Sektkellerei möchte einen hochwertigen Rieslingsekt auf den Markt bringen. Für die Festlegung des Abgabepreises soll zunächst eine Preis-Absatz-Funktion ermittelt werden. Dazu wird in   Geschäften ein Testverkauf durchgeführt und man erhält sechs Wertepaare mit dem jeweiligen Ladenpreis einer Flasche   (in Euro) sowie der Zahl der jeweils verkauften Flaschen  :

Geschäft   1 2 3 4 5 6
Flaschenpreis   20 16 15 16 13 10
verkaufte Menge   0 3 7 4 6 10
Geschätzte Regressionskoeffizienten

 

Verwendete Symbole
 ,   Mittel der Messwerte
 ,   Messwerte

Auf die Vermutung, dass es sich um einen linearen Zusammenhang handelt, kommt man, wenn man das obige Streudiagramm betrachtet. Dort erkennt man, dass die eingetragenen Datenpunkte nahezu auf einer Linie liegen. Im Weiteren sind der Preis als unabhängige und die Zahl der verkauften Flaschen als abhängige Variable definiert und es gibt sechs Beobachtungen. Die Anzahl der verkauften Flaschen mag aber nicht nur vom Preis abhängen, z. B. könnte in der Verkaufsstelle 3 eine große Werbetafel gehangen haben, so dass dort mehr Flaschen als erwartet verkauft wurden (zufälliger Einfluss). Damit scheint das einfache lineare Regressionsmodell zu passen.

Nach der graphischen Inspektion, ob ein linearer Zusammenhang vorliegt, wird zunächst die Regressiongerade mit der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt und es ergeben sich die Formeln in der Infobox für die geschätzten Regressionsparameter.

Für das folgende Zahlenbeispiel ergeben sich für die abhängige und unabhängige Variable jeweils ein Mittelwert zu   und  . Somit erhält man die Schätzwerte   für   und   für   durch einfaches Einsetzen in die weiter unten erklärten Formeln. Zwischenwerte (z. B.  ) in diesen Formeln sind in folgender Tabelle dargestellt

  Flaschenpreis   verkaufte Menge                  
1 20 0 5 −5 −25 25 25 0,09 −0,09 0,0081
2 16 3 1 −2 −2 1 4 4,02 −1,02 1,0404
3 15 7 0 2 0 0 4 5,00 2,00 4,0000
4 16 4 1 −1 −1 1 1 4,02 −0,02 0,0004
5 13 6 −2 1 −2 4 1 6,96 −0,96 0,9216
6 10 10 −5 5 −25 25 25 9,91 0,09 0,0081
Summe 90 30 0 0 −55 56 60 30,00 0,00 5,9786

Es ergibt sich in dem Beispiel

  und  .

Die geschätzte Regressionsgerade lautet somit

 ,

sodass man vermuten kann, dass bei jedem Euro mehr der Absatz im Mittel um ungefähr eine Flasche sinkt.

Für einen konkreten Preis   kann die Absatzmenge ausgerechnet werden, z. B.   ergibt sich eine geschätzte Absatzmenge von  . Für jeden Beobachtungswert   kann eine geschätzte Absatzmenge angegeben werden, z. B. für   ergibt sich  . Die geschätzte Störgröße, genannt Residuum, ist dann  .

BestimmtheitsmaßBearbeiten

 
Streudiagramm der Residuen ohne Struktur, das   liefert
 
Streudiagramm der Residuen, das ein   nahe bei   liefert

Das Bestimmtheitsmaß   misst, wie gut die Messwerte zu einem Regressionsmodell passen (Anpassungsgüte). Es ist definiert als der Anteil der „erklärten Variation“ an der „Gesamtvariation“ und liegt daher zwischen:

  •   (oder  ): kein linearer Zusammenhang und
  •   (oder  ): perfekter linearer Zusammenhang.

Je näher das Bestimmtheitsmaß am Wert Eins liegt, desto höher ist die „Bestimmtheit“ bzw. „Güte“ der Anpassung. Ist  , dann besteht das „beste“ lineare Regressionsmodell nur aus dem Achsenabschnitt  , während   ist. Je näher der Wert des Bestimmtheitsmaß an   liegt, desto besser erklärt die Regressionsgerade das wahre Modell. Ist  , dann lässt sich die abhängige Variable   vollständig durch das lineare Regressionsmodell erklären. Anschaulich liegen dann die Messpunkte   alle auf der nichthorizontalen Regressionsgeraden. Somit liegt bei diesem Fall kein stochastischer Zusammenhang vor, sondern ein deterministischer.

Eine häufige Fehlinterpretation eines niedrigen Bestimmtheitsmaßes ist es, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt. Tatsächlich wird nur der lineare Zusammenhang gemessen, d. h. obwohl   klein ist, kann es trotzdem einen starken nichtlinearen Zusammenhang geben. Umgekehrt muss ein hoher Wert des Bestimmtheitsmaßes nicht bedeuten, dass ein nichtlineares Regressionsmodell nicht noch besser als ein lineares Modell ist.

Bei einer einfachen linearen Regression entspricht das Bestimmtheitsmaß   dem Quadrat des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten   (siehe Bestimmtheitsmaß als quadrierter Korrelationskoeffizient).

Im oben genannten Beispiel kann die Güte des Regressionsmodells mit Hilfe des Bestimmtheitsmaßes überprüft werden. Für das Beispiel ergibt sich für die Residuenquadratsumme und die totale Quadratsumme

  und  

und das Bestimmtheitsmaß zu

 .

Das heißt, ca. 90 % der Variation bzw. Streuung in   können mithilfe des Regressionsmodells „erklärt“ werden, nur 10 % der Streuung bleiben „unerklärt“.

Das ModellBearbeiten

 
Datensatz mit wahrer Regressionsgerade (blau) und geschätzter Regressionsgerade (rot) sowie wahrer Störgröße und geschätzter Störgröße (Residuum).

Im Regressionsmodell werden die Zufallskomponenten mit Hilfe von Zufallsvariablen   modelliert. Wenn   eine Zufallsvariable ist, dann ist es auch  . Die beobachteten Werte   werden als Realisierungen der Zufallsvariablen   aufgefasst.

Daraus ergibt sich das einfache lineare Regressionsmodell:[1]

  (mit Zufallsvariablen) bzw.
  (mit deren Realisierungen).

Bildlich gesprochen wird eine Gerade durch das Streudiagramm der Messung gelegt. In der gängigen Literatur wird die Gerade oft durch den Achsenabschnitt   und den Steigungsparameter   beschrieben. Die abhängige Variable wird in diesem Kontext oft auch endogene Variable genannt. Dabei ist   eine additive stochastische Störgröße, die Abweichungen vom idealen Zusammenhang – also der Geraden – achsenparallel misst.

Anhand der Messwerte   werden die Regressionsparameter   und die   geschätzt. So erhält man die Stichproben-Regressionsfunktion  . Im Gegensatz zur unabhängigen und abhängigen Variablen sind die Zufallskomponenten   und deren Realisierungen nicht direkt beobachtbar. Ihre geschätzten Realisierungen   sind nur indirekt beobachtbar und heißen Residuen. Sie sind berechnete Größen und messen den vertikalen Abstand zwischen Beobachtungspunkt und der geschätzten Regressionsgerade

ModellannahmenBearbeiten

Um die Zerlegung von   in eine systematische und zufällige Komponente zu sichern sowie gute Schätzeigenschaften für die Schätzung   und   der Regressionsparameter   und   zu haben, sind einige Annahmen bezüglich der Störgrößen sowie der unabhängigen Variable nötig.

Annahmen über die unabhängige VariableBearbeiten

In Bezug auf die unabhängige Variable werden folgende Annahmen getroffen:[2]

Die Werte der unabhängigen Variablen   sind deterministisch, d. h. sie sind fest gegeben
Sie können also wie in einem Experiment kontrolliert werden und sind damit keine Zufallsvariablen (Exogenität der Regressoren). Wären die   Zufallsvariablen, z. B. wenn die   auch nur fehlerbehaftet gemessen werden können, dann wäre   und die Verteilung von   sowie die Verteilungsparameter (Erwartungswert und Varianz) würden nicht nur von   abhängen
 .
Mit speziellen Regressionsverfahren kann dieser Fall aber auch behandelt werden, siehe z. B. Regression mit stochastischen Regressoren.
Stichprobenvariation in der unabhängigen Variablen
Die Realisierungen der unabhängigen Variablen   sind nicht alle gleich.[3] Man schließt also den unwahrscheinlichen Fall aus, dass die unabhängige Variable keinerlei Variabilität aufweist, d. h.  . Dies impliziert, dass die Quadratsumme der unabhängigen Variablen   positiv sein muss.[4] Diese Annahme wird im Schätzprozess benötigt.

Annahmen über die unabhängige und abhängige VariableBearbeiten

Der wahre Zusammenhang zwischen den Variablen   und   ist linear
Die Regressionsgleichung der einfachen linearen Regression muss linear in den Parametern   und   sein, kann aber nichtlineare Transformationen der unabhängigen und der abhängigen Variablen beinhalten. Beispielsweise sind die Transformationen
  und  

zulässig, da sie ebenfalls lineare Modelle darstellen. Bei transformierten Daten ist zu beachten, dass sie die Interpretation der Regressionsparameter ändert.

Vorliegen einer Zufallsstichprobe

Es liegt eine Zufallsstichprobe des Umfangs     mit Realisierungen   vor, die dem wahren Modell   folgt.[3]

Annahmen über die StörgrößenBearbeiten

In Bezug auf die Störgrößen werden folgende Annahmen getroffen:[2]

Der Erwartungswert der Störgrößen ist Null:
Wenn das Modell einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, ist es vernünftig, dass man zumindest fordert, dass der Mittelwert von   in der Grundgesamtheit Null ist und sich die Schwankungen der einzelnen Störgrößen über die Gesamtheit der Beobachtungen ausgleichen. Mathematisch bedeutet das, dass der Erwartungswert der Störgrößen Null ist  . Diese Annahme macht keine Aussage über den Zusammenhang zwischen   und  , sondern gibt lediglich eine Aussage über die Verteilung der unsystematischen Komponente in der Grundgesamtheit.[5] Dies bedeutet, dass das betrachte Modell im Mittel dem wahren Zusammenhang entspricht. Wäre der Erwartungswert nicht Null, dann würde man im Mittel einen falschen Zusammenhang schätzen. Zur Verletzung dieser Annahme kann es kommen, wenn eine relevante Variable im Regressionsmodell nicht berücksichtigt wurde (siehe Verzerrung durch ausgelassene Variablen).
Die Störgrößen   sind voneinander unabhängige Zufallsvariablen
Wären die Störgrößen nicht unabhängig, dann könnte man einen systematischen Zusammenhang zwischen ihnen formulieren. Das würde der Zerlegung von   in eine eindeutige systematische und zufällige Komponente widersprechen. Es wird in der Zeitreihenanalyse z. B. oft ein Zusammenhang der Form   betrachtet.
Oft wird auch nur die Unkorreliertheit der Störgrößen gefordert:   oder äquivalent  .

Unabhängige Zufallsvariablen sind immer auch unkorreliert. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Abwesenheit von Autokorrelation.

Eine konstante Varianz (Homoskedastizität) der Störgrößen:  
Wäre die Varianz nicht konstant, ließe sich evtl. die Varianz systematisch modellieren, d. h. dies widerspräche Zerlegung von   in eine eindeutige systematische und zufällige Komponente. Zudem lässt sich zeigen, dass sich die Schätzeigenschaften der Regressionsparameter verbessern lassen, wenn die Varianz nicht konstant ist.

Alle oben genannten Annahmen über die Störgrößen lassen sich so zusammenfassen:

 ,

d. h. alle Störgrößen sind unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert   und  .

Optionale Annahme: Die Störgrößen sind normalverteilt, also  
Diese Annahme wird nur benötigt um z. B. Konfidenzintervalle zu berechnen bzw. um Tests für die Regressionsparameter durchzuführen.

Wird die Normalverteilung der Störgrößen angenommen, so folgt, dass auch   normalverteilt ist:

 

Die Verteilung der   hängt also von der Verteilung der Störgrößen ab. Der Erwartungswert der abhängigen Variablen lautet:

 

Da die einzige zufällige Komponente in   die Störgröße   ist, gilt für die Varianz der abhängigen Variablen, dass sie gleich der Varianz der Störgrößen entspricht:

 .

Die Varianz der Störgrößen spiegelt somit die Variabilität der abhängigen Variablen um ihren Mittelwert wider. Damit ergibt sich für die Verteilung der abhängigen Variablen:

 .

Aufgrund der Annahme, dass die Störgrößen im Mittel Null sein müssen, muss der Erwartungswert von   der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

 

entsprechen. D. h. mit der Annahme über die Störgrößen schlussfolgert man, dass das Modell im Mittel korrekt sein muss. Wenn zusätzlich zu den anderen Annahmen auch die Annahme der Normalverteiltheit gefordert wird spricht man auch vom klassischen linearen Modell (siehe auch #Klassisches lineares Modell der Normalregression).

Im Rahmen der Regressionsdiagnostik sollen die Voraussetzungen des Regressionsmodells, soweit möglich, geprüft werden. Dazu zählen die Überprüfung, ob die Störgrößen keine Struktur (die dann nicht zufällig wäre) haben.

Schätzung der Regressionsparameter und der StörgrößenBearbeiten

Die Schätzung der Regressionsparameter   und   und der Störgrößen   geschieht in zwei Schritten:

  1. Zunächst werden mit Hilfe der Kleinste-Quadrate-Schätzung die unbekannten Regressionsparameter   und   geschätzt. Dabei wird die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen dem geschätzten Regressionswert   und dem beobachteten Wert   minimiert.[6] Dabei ergeben sich folgende Formeln:
     
     
  2. Sind   und   berechnet, so kann das Residuum geschätzt werden als  .

Herleitung der Formeln für die RegressionsparameterBearbeiten

 
Methode der kleinsten Quadrate: Die Summe der blauen Abweichungsquadrate ist die totale Quadratsumme und die Summe der roten Abweichungsquadrate ist die Residuenquadratsumme. Die Kleinste-Quadrate-Schätzwerte   und   minimieren die Summe der Quadrate der senkrechten Abstände der Datenpunkte von der Regressionsgeraden.

Um nun die Parameter der Gerade zu bestimmen, wird die Zielfunktion   (Fehlerquadratsumme bzw. die Residuenquadratsumme) minimiert[7][8]

 [9]

Die Bedingungen erster Ordnung (notwendige Bedingungen) lauten:

 

und

 .

Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach   und   ergeben sich die gesuchten Parameterschätzer, bei denen die Residuenquadratsumme minimal wird:

  und  ,

wobei   die Summe der Abweichungsprodukte zwischen   und   und   die Summe der Abweichungsquadrate von   darstellt. Mithilfe des Verschiebungssatzes von Steiner lässt sich   auch wie folgt einfacher, in nichtzentrierter Form, darstellen

 .

Weitere Darstellungen von   erhält man, indem man die Formel in Abhängigkeit vom Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten   schreibt. Entweder als

  oder  ,

wobei   und   die empirischen Standardabweichungen von   und   darstellen. Die letztere Darstellung impliziert, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für den Anstieg proportional zum Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten   ist, d. h.  .

Die jeweiligen Kleinste-Quadrate-Schätzwerte von   und   werden als   und   abgekürzt.

Algebraische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-SchätzerBearbeiten

Aus den Formeln sind drei Eigenschaften ableitbar:

1.) Die Regressiongerade verläuft durch den Schwerpunkt bzw. durch das „Gravitationszentrum“ der Daten  , was direkt aus der obigen Definition von   folgt. Man sollte beachten, dass dies nur gilt, wenn ein Achsenabschnitt für die Regression verwendet wird, wie man leicht an dem Beispiel mit den zwei Datenpunkten   sieht.

2.) Die KQ-Regressionsgerade wird so bestimmt, dass die Residuenquadratsumme zu einem Minimum wird. Äquivalent dazu bedeutet das, dass sich positive und negative Abweichungen von der Regressionsgeraden ausgleichen. Wenn das Modell der linearen Einfachregression einen – von Null verschiedenen – Achsenabschnitt enthält, dann muss also gelten, dass die Summe der Residuen Null ist (dies ist äquivalent zu der Eigenschaft, dass die gemittelten Residuen Null ergeben)[10]

  bzw.  .
Oder, da sich die Residuen als Funktion der Störgrößen darstellen lassen,  . Diese Darstellung wird für die Herleitung der erwartungstreuen Schätzung der Varianz der Störgrößen benötigt.

3.) Die Residuen und die unabhängigen Variablen sind (unabhängig davon, ob ein Achsenabschnitt mit einbezogen wurde oder nicht) unkorreliert, d. h.

 , was direkt aus der zweiten Optimalitätsbedingung von oben folgt.
Die Residuen und die geschätzten Werten sind unkorreliert, d. h.
 .
Diese Unkorreliertheit der prognostizierten Werte mit den Residuen kann so interpretiert werden, dass in der Vorhersage bereits alle relevante Information der erklärenden Variablen bezüglich der abhängigen Variablen steckt.[11]

Schätzfunktionen der Kleinste-Quadrate-SchätzerBearbeiten

Aus der Regressionsgleichung   lassen sich die Schätzfunktionen   für   und   für   ableiten.

  mit der Gewichtsfunktion  
 .

Die Formeln zeigen auch, dass die Schätzfunktionen der Regressionsparameter linear von   abhängen. Unter der Annahme der Normalverteilung der Residuen   (oder wenn für   der zentrale Grenzwertsatz erfüllt ist) folgt, dass auch die Schätzfunktionen der Regressionsparameter   und   zumindest approximativ normalverteilt sind:

  und  .

Statistische Eigenschaften der Kleinste-Quadrate-SchätzerBearbeiten

Erwartungstreue der Kleinste-Quadrate-SchätzerBearbeiten

Die Schätzfunktionen der Regressionsparameter   und   sind erwartungstreu für   und  , d. h., es gilt   und  . Der Kleinste-Quadrate-Schätzer liefert also „im Mittel“ die wahren Werte der Koeffizienten.

Mit der Linearität des Erwartungswerts und der Voraussetzung   folgt nämlich   und  . Als Erwartungswert von   ergibt sich daher:[12]

 

Für den Erwartungswert von   erhält man schließlich:[6]

 .

Varianzen der Kleinste-Quadrate-SchätzerBearbeiten

Die Varianzen des Achsenabschnittes   und des Steigungsparameters   sind gegeben durch:[13]

  und
 .

Dabei stellt   die empirische Varianz dar. Je größer die Streuung in der erklärenden Variablen (d. h. je größer  ), desto größer ist die Präzision von   und  . Da die Anzahl der Terme in dem Ausdruck   umso größer ist, je größer die Stichprobengröße ist, führen größere Stichproben immer zu einer größeren Präzision. Außerdem kann man sehen: Je kleiner die Varianz der Störgrößen   ist, desto präziser sind die Schätzer.[14]

Die Kovarianz von   und   ist gegeben durch

 .

Falls für   die Konsistenzbedingung

 

gilt, sind die Kleinste-Quadrate-Schätzer   und   konsistent für   und  . Dies bedeutet, dass mit zunehmender Stichprobengröße der wahre Wert immer genauer geschätzt wird und die Varianz letztendlich verschwindet. Die Konsistenzbedingung besagt, dass die Werte   hinreichend stark um ihr arithmetisches Mittel variieren. Nur auf diese Art und Weise kommt zusätzliche Information zur Schätzung von   und   hinzu.[15] Das Problem an den beiden Varianzformeln ist jedoch, dass die wahre Varianz der Störgrößen   unbekannt ist und somit geschätzt werden muss. Die positiven Quadratwurzeln der geschätzten Varianzen werden als (geschätzte) Standardfehler der Regressionskoeffizienten   und   bezeichnet und sind wichtig für die Beurteilung der Anpassungsgüte (siehe auch Standardfehler der Regressionsparameter im einfachen Regressionsmodell).

Schätzer für die Varianz der StörgrößenBearbeiten

Eine erwartungstreue Schätzung der Varianz der Störgrößen ist gegeben durch[16]

 ,

d. h., es gilt   (für einen Beweis siehe Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Störgrößen). Die positive Quadratwurzel dieser erwartungstreuen Schätzfunktion wird auch als Standardfehler der Regression bezeichnet.[17] Der Schätzwert von   wird auch mittleres Residuenquadrat   genannt. Das mittlere Residuenquadrat wird benötigt, um Konfidenzintervalle für   und   zu bestimmen.[18]

Das Ersetzen von   durch   in den obigen Formeln für die Varianzen der Regressionsparameter liefert die Schätzungen   und   für die Varianzen.

Bester lineare erwartungstreue SchätzerBearbeiten

Es lässt sich zeigen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer die beste lineare erwartungstreue Schätzfunktion darstellt. Eine erwartungstreue Schätzfunktion ist „besser“ als eine andere, wenn sie eine kleinere Varianz aufweist, da die Varianz ein Maß für die Unsicherheit ist. Somit ist die beste Schätzfunktion dadurch gekennzeichnet, dass sie eine minimale Varianz und somit die geringste Unsicherheit aufweist. Diejenige Schätzfunktion, die unter den linearen erwartungstreuen Schätzfunktionen die kleinste Varianz aufweist, wird auch als bester linearer erwartungstreuer Schätzer, kurz BLES (englisch Best Linear Unbiased Estimator, kurz: BLUE) bezeichnet. Für alle anderen linearen erwartungstreuen Schätzer   und   gilt somit

  und  .

Auch ohne Normalverteilungsannahme ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer ein bester linearer erwartungstreuer Schätzer.

Klassisches lineares Modell der NormalregressionBearbeiten

Wenn man zusätzlich zu den klassischen Annahmen annimmt, dass die Störgrößen normalverteilt sind ( ), dann ist es möglich statistische Inferenz (Schätzen und Testen) durchzuführen. Ein Modell das zusätzlich die Normalverteilungsannahme erfüllt, wird Klassisches lineares Modell der Normalregression genannt. Bei solch einem Modell können dann Konfidenzintervalle und Tests für die Regressionsparameter konstruiert werden. Insbesondere wird bei t-Tests diese Normalverteilungsannahme benötigt, da eine t-Verteilung als Prüfgrößenverteilung herangezogen wird, die man erhält wenn man eine standardnormalverteilte Zufallsvariable durch die Quadratwurzel einer (um die Anzahl ihrer Freiheitsgrade korrigierten) Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariablen dividiert.

t-TestsBearbeiten

Die Normalverteilungsannahme   impliziert   und   und damit ergibt sich für Achsenabschnitt und Steigung die folgende t-Statistik:

 .

Zum Beispiel kann ein Signifikanztest durchgeführt werden, bei dem Nullhypothese und Alternativhypothese wie folgt spezifiziert sind:    gegen   . Für die Prüfgröße gilt dann:

 ,

wobei   das   der t-Verteilung mit   Freiheitsgraden ist.

KonfidenzintervalleBearbeiten

Um Konfidenzintervalle für den Fall der linearen Einfachregression herzuleiten benötigt man die Normalverteilungsannahme für die Störgrößen. Als  -Konfidenzintervalle für die unbekannten Parameter   und   erhält man:

  und  ,

wobei   das  -Quantil der studentschen t-Verteilung mit   Freiheitsgraden ist und die geschätzten Standardfehler   und   der unbekannten Parameter   und   gegeben sind durch die Quadratwurzeln der geschätzten Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer:

  und  ,

wobei   das mittlere Residuenquadrat darstellt.

VorhersageBearbeiten

Oft ist man daran interessiert für einen neuen Wert   die (Realisierung) der abhängigen Variablen   zu schätzen. Beispielsweise könnte   der geplante Preis eines Produktes sein und   der Absatz sein. In diesem Fall nimmt man das gleiche einfache Regressionsmodell wie oben dargestellt an. Für eine neue Beobachtung   mit dem Wert der unabhängigen Variablen   ist die Vorhersage basierend auf der einfachen linearen Regression gegeben durch

 

Da man den Wert der abhängigen Variablen nie genau vorhersehen kann, ergibt sich immer ein Schätzfehler. Dieser Fehler wird als Vorhersagefehler bezeichnet und ergibt sich aus

 

Im Fall der einfachen linearen Regression ergibt sich für den Erwartungswert und die Varianz des Vorhersagefehlers:

  und  .

Bei Punktvorhersagen dient die Angabe eines Vorhersageintervalls dazu, die Vorhersagepräzision und -sicherheit auszudrücken. Mit Wahrscheinlichkeit   wird die Variable an der Stelle   einen Wert annehmen, der in folgendem  -Vorhersageintervall liegt[19][20]

 .

Aus dieser Form des Konfidenzintervalls erkennt man sofort, dass das Konfidenzintervall breiter wird, wenn sich die unabhängige Vorhersagevariable   vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der abhängigen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.

Kausalität und RegressionsrichtungBearbeiten

 
Regressionsgeraden für   [rot] und   [blau]; hier werden die Parameter   und   durch   und   dargestellt

Wie in der statistischen Literatur immer wieder betont wird, ist ein hoher Wert des Korrelationskoeffizienten zweier Variablen   und   allein noch kein hinreichender Beleg für den kausalen (d. h. ursächlichen) Zusammenhang von   und  , ebenso wenig für dessen mögliche Richtung. Es ist hier nämlich ein Fehlschluss der Art cum hoc ergo propter hoc möglich.

Anders als gemeinhin beschrieben, sollte man es daher bei der linearen Regression zweier Variablen   und   stets mit nicht nur einer, sondern zwei voneinander unabhängigen Regressionsgeraden zu tun haben: der ersten für die vermutete lineare Abhängigkeit   (Regression von   auf  ), der zweiten für die nicht minder mögliche Abhängigkeit   (Regression von   auf  ).[21]

Bezeichnet man die Richtung der  -Achse als Horizontale und die der  -Achse als Vertikale, läuft die Berechnung des Regressionsparameter also im ersten Fall auf das üblicherweise bestimmte Minimum der vertikalen quadratischen Abweichungen hinaus, im zweiten Fall dagegen auf das Minimum der horizontalen quadratischen Abweichungen.

Rein äußerlich betrachtet bilden die beiden Regressionsgeraden   und   eine Schere, deren Schnitt- und Angelpunkt der Schwerpunkt der Daten   ist. Je weiter sich diese Schere öffnet, desto geringer ist die Korrelation beider Variablen, bis hin zur Orthogonalität beider Regressionsgeraden, zahlenmäßig ausgedrückt durch den Korrelationskoeffizienten   bzw. Schnittwinkel  .

Umgekehrt nimmt die Korrelation beider Variablen umso mehr zu, je mehr sich die Schere schließt – bei Kollinearität der Richtungsvektoren beider Regressionsgeraden schließlich, also dann, wenn beide bildlich übereinander liegen, nimmt   je nach Vorzeichen der Kovarianz den Maximalwert   oder   an, was bedeutet, dass zwischen   und   ein streng linearer Zusammenhang besteht und sich (wohlgemerkt nur in diesem einen einzigen Fall) die Berechnung einer zweiten Regressionsgeraden erübrigt.

Wie der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen, haben die Gleichungen der beiden Regressionsgeraden große formale Ähnlichkeit, etwa, was ihre Anstiege   bzw.   angeht, die gleich den jeweiligen Regressionsparameter sind und sich nur durch ihre Nenner unterscheiden: im ersten Fall die Varianz von  , im zweiten die von  :

Regression von   auf   Zusammenhangsmaße Regression von   auf  
Regressionskoeffizient  Produkt-Moment-Korrelation Regressionskoeffizient 
     
Empirischer Regressionskoeffizient  Empirischer Korrelationskoeffizient Empirischer Regressionskoeffizient 
     
Regressionsgerade  Bestimmtheitsmaß Regressionsgerade 
     

Zu erkennen ist außerdem die mathematische Mittelstellung des Korrelationskoeffizienten und seines Quadrats, des Bestimmtheitsmaßes, gegenüber den beiden Regressionsparameter, dadurch entstehend, dass man anstelle der Varianzen von   bzw.   deren geometrisches Mittel

 

in den Nenner setzt. Betrachtet man die Differenzen   als Komponenten eines  -dimensionalen Vektors   und die Differenzen   als Komponenten eines  -dimensionalen Vektors  , lässt sich der empirische Korrelationskoeffizient schließlich auch als Kosinus des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels   interpretieren:

 

BeispielBearbeiten

Für das vorangegangene Beispiel aus der Sektkellerei ergibt sich folgende Tabelle für die Regression von   auf   bzw. für die Regression von   auf  :

  Flaschenpreis   verkaufte Menge                
1 20 0 5 −5 −25 25 25 0,09 19,58
2 16 3 1 −2 −2 1 4 4,02 16,83
3 15 7 0 2 0 0 4 5,00 13,17
4 16 4 1 −1 −1 1 1 4,02 15,92
5 13 6 −2 1 −2 4 1 6,96 14,08
6 10 10 −5 5 −25 25 25 9,91 10,42
Summe 90 30 0 0 −55 56 60 30,00 90,00

Daraus ergeben sich folgende Werte für die Regression von   auf  :

Regression von   auf  
Koeffizient Allgemeine Formel Wert im Beispiel
Steigungsparameter der Regressionsgerade    
Achsenabschnitt der Regressionsgerade    
Geschätzte Regressionsgerade    

Und die Werte für die Regression von   auf   lauten:

Regression von   auf  
Koeffizient Allgemeine Formel Wert im Beispiel
Steigungsparameter der Regressionsgerade    
Achsenabschnitt der Regressionsgerade    
Geschätzte Regressionsgerade    

Das heißt, je nachdem ob man die Regression von   auf   oder die Regression von   auf   ausführt, erhält man unterschiedliche Regressionsparameter. Für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten und des Bestimmtheitsmaßes spielt jedoch die Regressionsrichtung keine Rolle.

Empirische Korrelation    
Bestimmtheitsmaß    

Lineare Einfachregression durch den UrsprungBearbeiten

Im Fall der einfachen linearen Regression durch den Ursprung/Regression ohne Achsenabschnitt (der Achsenabschnitt   wird nicht in die Regression miteinbezogen und daher verläuft die Regressionsgleichung durch den Koordinatenursprung) lautet die konkrete empirische Regressionsgerade  , wobei die Notation   benutzt wird um von der allgemeinen Problemstellung der Schätzung eines Steigungsparameters mit Hinzunahme eines Achsenabschnitts zu unterscheiden. Manchmal ist es angebracht, die Regressionsgerade durch den Ursprung zu legen, wenn   und   als proportional angenommen werden. Auch in diesem Spezialfall lässt sich die Kleinste-Quadrate-Schätzung anwenden. Sie liefert für die Steigung

 .

Dieser Schätzer für den Steigungsparameter   entspricht dem Schätzer für den Steigungsparameter  , dann und nur dann wenn  . Wenn für den wahren Achsenabschnitt   gilt, ist   ein verzerrter Schätzer für den wahren Steigungsparameter  . Für die lineare Einfachregression durch den Ursprung muss ein anderes Bestimmtheitsmaß definiert werden, da das gewöhnliche Bestimmtheitsmaß bei einer Regression durch den Ursprung negativ werden kann (siehe Bestimmtheitsmaß#Einfache lineare Regression durch den Ursprung).[22] Die Varianz von   ist gegeben durch

 .

Diese Varianz wird minimal wenn die Summe im Nenner maximal wird.

MatrixschreibweiseBearbeiten

Der Modellcharakter des einfachen linearen Regressionsmodells wird besonders in der Matrixschreibweise mit der Datenmatrix deutlich:

  (wahres Modell).

mit

 

Diese Darstellung erleichtert die Verallgemeinerung auf mehrere Einflussgrößen (multiple lineare Regression).[23]

Verhältnis zur multiplen linearen RegressionBearbeiten

Die lineare Einfachregression ist ein Spezialfall der multiplen linearen Regression. Das multiple lineare Regressionsmodell

 ,

stellt eine Verallgemeinerung der linearen Einfachregression bzgl. der Anzahl der Regressoren dar. Hierbei ist   die Anzahl der Regressionsparameter. Für  , ergibt sich die lineare Einfachregression.

Lineare Einfachregression in RBearbeiten

Als einfaches Beispiel wird der Korrelationskoeffizient zweier Datenreihen berechnet:

# Groesse wird als numerischer Vektor
# durch den Zuweisungsoperator "<-" definiert:
Groesse <- c(176, 166, 172, 184, 179, 170, 176)

# Gewicht wird als numerischer Vektor definiert:
Gewicht <- c(65, 55, 67, 82, 75, 65, 75)

# Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit der Funktion "cor":
cor(Gewicht, Groesse, method = "pearson")

Das Ergebnis lautet 0.9295038.

 
Grafikausgabe des Beispiels

Mithilfe der Statistiksoftware R kann eine lineare Einfachregression durchgeführt werden. Dies kann in R durch die Funktion lm ausgeführt werden, wobei die abhängige Variable von den unabhängigen Variablen durch die Tilde getrennt wird. Die Funktion summary gibt die Koeffizienten der Regression und weitere Statistiken hierzu aus:

# Lineare Regression mit Gewicht als Zielvariable
# Ergebnis wird als reg gespeichert:
reg <- lm(Gewicht~Groesse)

# Ausgabe der Ergebnisse der obigen linearen Regression:
summary(reg)

Diagramme lassen sich einfach erzeugen:

# Streudiagramm der Daten:
plot(Gewicht~Groesse)

# Regressionsgerade hinzufügen:
abline(reg)

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Einführung in die Regressionsrechnung – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Lineare Regression – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

LiteraturBearbeiten

  • George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T.C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, ISBN 978-0471624141, second edition 1988.
  • Norman R. Draper, Harry Smith: Applied Regression Analysis. Wiley, New York 1998.
  • Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6. durchges. u. aktualisierte Aufl. 2013
  • Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2
  • Peter Schönfeld: Methoden der Ökonometrie. Berlin/ Frankfurt 1969.
  • Dieter Urban, Jochen Mayerl: Regressionsanalyse: Theorie, Technik und Anwendung. 2., überarb. Auflage. VS Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-531-33739-4.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. W. Zucchini, A. Schlegel, O. Nenadíc, S. Sperlich: Statistik für Bachelor- und Masterstudenten.
  2. a b Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. 2013, S. 49.
  3. a b Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 59.
  4. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 292.
  5. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015, S. 24.
  6. a b Jeffrey Wooldridge: Introductory Econometrics: A Modern Approach. 5. internationale Auflage. South-Western, Mason, OH 2013, ISBN 978-1-111-53439-4, S. 113–114 (englisch).
  7. J. F. Kenney, E. S. Keeping: Linear Regression and Correlation. In: Mathematics of Statistics. Pt. 1, 3. Auflage. Van Nostrand, Princeton, NJ 1962, S. 252–285.
  8. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 4 (abgerufen über De Gruyter Online).
  9.   bezeichnet analog zu  (Argument des Maximums) das Argument des Minimums
  10. Manfred Precht und Roland Kraft: Bio-Statistik 2: Hypothesentests–Varianzanalyse–Nichtparametrische Statistik–Analyse von Kontingenztafeln–Korrelationsanalyse–Regressionsanalyse–Zeitreihenanalyse–Programmbeispiele in MINITAB, STATA, N, StatXact und TESTIMATE: 5., völlig überarb. Aufl. Reprint 2015, De Gruyter, Berlin Juni 2015, ISBN 978-3-486-78352-0 (abgerufen über De Gruyter Online), S. 299.
  11. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über De Gruyter Online).
  12. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 326.
  13. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 326.
  14. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 168.
  15. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 443.
  16. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education 2015
  17. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 308.
  18. Werner Timischl: Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2013, 3. Auflage, S. 313.
  19. Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R. 2013, ISBN 978-3-486-73967-1, S. 13 (abgerufen über De Gruyter Online).
  20. Ludwig von Auer: Ökonometrie. Eine Einführung. Springer, ISBN 978-3-642-40209-8, 6., durchges. u. aktualisierte Auflage. 2013, S. 135.
  21. Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 669–670.
  22. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 57.
  23. Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-56657-2, S. 801