Loewner-Halbordnung

Die Löwner-Halbordnung oder auch Loewner-Halbordnung ist eine spezielle Halbordnung auf dem Vektorraum der symmetrischen reellen -Matrizen, die ihn zum geordneten Vektorraum macht. Sie findet insbesondere in der semidefiniten Programmierung Verwendung, aber auch in der Optimalen Versuchsplanung.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei der reelle Vektorraum der symmetrischen reellen  -Matrizen

 

Hierbei bezeichnet   die transponierte Matrix der Matrix  . Man definiert nun die Loewner-Halbordnung   durch

 

und

 

sowie

 .

Alternativ zur Formulierung, dass   eine positiv semidefinite Matrix sein soll, findet sich auch die Forderung, dass   für alle   oder aber dass alle Eigenwerte   der Matrix   größergleich null sein sollen. Alle drei Formulierungen sind aber äquivalent.

Konstruktion über einen OrdnungskegelBearbeiten

Alternativ kann man auch den semidefiniten Kegel   (die Menge alle positiv semidefiniten Matrizen in  ) als Ordnungskegel interpretieren. Die von diesem Kegel induzierte Ordnung ist dann die Loewner-Halbordnung.

Konstruktion als verallgemeinerte UngleichungBearbeiten

Da der semidefinite Kegel sogar ein echter Kegel ist, kann man die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung betrachten. Sie entspricht wieder der Loewner-Halbordnung.

BeispielBearbeiten

Wir betrachten die Matrizen

 .

Alle drei sind symmetrisch und reell. Eine Berechnung der Eigenwerte oder die Anwendung der Gerschgorin-Kreise liefert, dass sowohl   als auch   positiv definit sind, es ist also

 .

Berechnet man

 ,

so ist auch diese Matrix positiv definit, da ihre Eigenwerte (nach den Gerschgorin-Kreisen) im Intervall   liegen und damit immer positiv sein müssen. Somit ist  .

Bei der Matrix   liefern die Gerschgorin-Kreise keine definitive Aussage, eine Berechnung ergibt die Eigenwerte  . Somit ist   indefinit, es gilt weder   noch  . Dies liegt daran, dass es sich nur um eine Halbordnung handelt: Zwei Elemente (hier   und die Nullmatrix) müssen nicht notwendigerweise miteinander vergleichbar sein.

EigenschaftenBearbeiten

Da die Loewner-Halbordnung den Vektorraum der reellen symmetrischen Matrizen zu einem geordneten Vektorraum macht, gilt

  •   für alle  , das heißt,   ist reflexiv.
  • Aus   und   folgt   für alle  , das heißt,   ist transitiv.
  • Aus   folgt   für alle  , das heißt,   ist mit der Addition verträglich.
  • Aus   folgt   für alle   und  , das heißt,   ist verträglich mit der Multiplikation mit positiven Skalaren.

Da der semidefinite Kegel ein spitzer Kegel ist, ist   außerdem antisymmetrisch, das heißt, wenn   und  , so muss   sein. Die Loewner-Halbordnung ist also eine strikte Ordnung.

VerwendungBearbeiten

Mittels der Loewner-Halbordnung werden die sogenannten Matrix-monotonen Funktionen definiert. Sie sind genau die monotonen Abbildungen von   nach  .

Strikte VariantenBearbeiten

Es lassen sich auch durch

 

strikte Varianten der Loewner-Halbordnung definieren. Diese tragen aber gewöhnlich keinen Eigennamen.

NotationBearbeiten

Es existiert eine Vielzahl von Notationen für die Loewner-Halbordnung. Gängig sind neben der obigen Notation mittels   unter anderem auch  . Diese wird häufig in der semidefiniten Programmierung genutzt, oder wenn man die Konstruktion als verallgemeinerte Ungleichung verwendet, da sie immer noch mit angibt, welcher Kegel die verallgemeinerte Ungleichung definiert. Selten wird auch auf die Definition eines Ordnungszeichens verzichtet, man schreibt dann zum Beispiel   anstelle von  .

LiteraturBearbeiten

  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
  • Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.