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Eine antisymmetrische Relation, als gerichteter Graph dargestellt
Eine nicht antisymmetrische Relation, als gerichteter Graph dargestellt

Antisymmetrisch heißt eine zweistellige Relation auf einer Menge, wenn für beliebige Elemente und der Menge mit nicht zugleich die Umkehrung gelten kann, es sei denn, und sind gleich. Äquivalent formuliert gilt damit für beliebige Elemente und dieser Menge, dass aus und stets folgt.

Die Antisymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Halbordnung.

DefinitionBearbeiten

Ist   eine Menge und   eine zweistellige Relation auf  , dann heißt   antisymmetrisch, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

 

Sonderfall Asymmetrische RelationBearbeiten

Jede asymmetrische Relation ist auch eine antisymmetrische Relation.[1] Da für eine asymmetrische Relation   auf  

  gilt, also für keines der geordneten Paare   die Umkehrung zutrifft,

ist die Prämisse   der Definition der antisymmetrischen Relation stets falsch und nach dem logischen Prinzip Ex falso quodlibet somit die Aussage   erfüllt.

Die Asymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine (irreflexive) Striktordnung.

BeispieleBearbeiten

Antisymmetrisch sind die Relationen   und   auf den reellen Zahlen. Aus   und   folgt  . Das Gleiche gilt für   und  .

Auch die Teilbarkeitsrelation   für natürliche Zahlen ist antisymmetrisch, denn aus   und   folgt  . Die Teilbarkeit auf den ganzen Zahlen ist hingegen nicht antisymmetrisch, weil beispielsweise   und   gilt, obwohl  .

Asymmetrische Relationen sind die Kleiner-Relation   auf den reellen Zahlen und die Teilmengenbeziehung   zwischen Mengen. Verglichen mit   beziehungsweise   fehlt diesen Beziehungen die Reflexivität.

Darstellung als gerichteter GraphBearbeiten

Jede beliebige Relation   auf einer Menge   kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von  . Vom Knoten   zum Knoten   wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil  ) gezogen, wenn   gilt.

Die Antisymmetrie von   lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil   zwischen verschiedenen Knoten   und   des Graphen gibt, dann kann es nicht gleichzeitig einen Pfeil   geben. Schleifen   brauchen also bei diesem Kriterium nicht untersucht zu werden.

EigenschaftenBearbeiten

  • Mit Hilfe der konversen Relation   lässt sich die Antisymmetrie auch durch die folgende Bedingung charakterisieren:
     
Hierbei bezeichnet   die identische Relation auf der Grundmenge  , also die Menge aller Paare  .
  • Sind die Relationen   und   antisymmetrisch, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge  . Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt   einer beliebigen (nichtleeren) Familie von antisymmetrischen Relationen verallgemeinern.
  • Jede Teilmenge einer antisymmetrischen Relation ist wieder antisymmetrisch.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: antisymmetrisch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.