Satz von Kirszbraun

In der Mathematik ist der Satz von Kirszbraun (auch: Fortsetzungssatz von Kirszbraun oder Satz von Kirszbraun-Valentine) ein Lehrsatz über die Fortsetzbarkeit Lipschitz-stetiger Abbildungen, er ist nach dem polnischen Mathematiker Mojżesz Dawid Kirszbraun benannt.

Satz

Sei

$f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$

eine auf einer Teilmenge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ definierte Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante $\operatorname {Lip} (f)$, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$

mit derselben Lipschitz-Konstante

$\operatorname {Lip} (F)=\operatorname {Lip} (f)$

und mit

$F\vert _{U}=f.$

Beispiel

Für $m=1$ kann man $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ explizit definieren durch

$F(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )}$

für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Dieselbe Formel funktioniert auch für Teilmengen $U\subset X$ beliebiger metrischer Räume $X$ und ist in diesem Kontext als Lemma von McShane bekannt.

Für $m>1$ kennt man keine solche geschlossene Formel.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Kirszbraun gilt auch für Hilberträume, aber nicht für beliebige Banachräume.

Seien $H_{1},H_{2}$ Hilberträume und $f\colon U\to H_{2}$ eine auf einer Teilmenge $U\subset H_{1}$ definierte Lipschitz-stetige Abbildung, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung $F\colon H_{1}\to H_{2}$ mit derselben Lipschitz-Konstanten und mit $F\vert _{U}=f.$

Literatur

• M. Kirszbraun: Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math. 22 (1935), 77–108. online (PDF; 2,1 MB)
• F. Valentine: A Lipschitz condition preserving extension for a vector function. Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93. online (pdf)

Weblinks

• Fremlin: Kirszbraun's Theorem
• Kirszbraun Theorem (Encyclopedia of Mathematics)