Der Matrizenring, Matrixring oder Ring der Matrizen ist in der Mathematik der Ring der quadratischen Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem weiteren, zugrunde liegenden Ring. Die additive und die multiplikative Verknüpfung im Matrizenring sind die Matrizenaddition und die Matrizenmultiplikation. Das neutrale Element im Matrizenring ist die Nullmatrix und das Einselement die Einheitsmatrix. Der Matrizenring ist Morita-äquivalent zu seinem zugrunde liegenden Ring und erbt daher viele seiner Eigenschaften. Allerdings ist der Matrizenring im Allgemeinen nicht kommutativ, selbst wenn der zugrunde liegende Ring kommutativ sein sollte.

Der Matrizenring besitzt in der Ringtheorie eine besondere Bedeutung, da jeder Endomorphismenring eines freien Moduls mit endlicher Basis isomorph zu einem Matrizenring ist. Viele Ringe lassen sich somit als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein unitärer Ring, dann bildet die Menge der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus diesem Ring

 

zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation als zweistelligen Verknüpfungen wiederum einen unitären Ring

 ,

der Ring der Matrizen über   oder kurz Matrizenring genannt wird. Die Addition und die Multiplikation im Matrizenring   und im zugrunde liegenden Ring   werden dabei üblicherweise durch die gleichen Symbole dargestellt. Der Matrizenring wird auch als  ,   oder   notiert.[1]

BeispielBearbeiten

Ein einfaches Beispiel für einen Matrizenring ist die Menge der  -Matrizen mit der Matrizenaddition

 

und der Matrizenmultiplikation

 .

Als Ergebnis erhält man jeweils wieder eine  -Matrix.

EigenschaftenBearbeiten

RingaxiomeBearbeiten

Die Menge der quadratischen Matrizen erfüllt mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation die Ringaxiome:

 ,
wobei   das neutrale Element von   ist.
 ,
wobei   das Einselement von   ist. Um Trivialfälle auszuschließen, wird im Weiteren   angenommen.

NullteilerBearbeiten

Die Nullmatrix ist im Matrizenring   ein absorbierendes Element, das heißt für alle Matrizen   gilt

 .

Der Matrizenring ist für   nicht nullteilerfrei, denn aus   folgt nicht notwendigerweise   oder  . So gilt beispielsweise

 .

Der Matrizenring ist demnach für   kein Integritätsring. Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekürzt werden, denn aus   folgt nicht notwendigerweise  .

NichtkommutativitätBearbeiten

Der Matrizenring   ist für   nicht kommutativ, selbst wenn   kommutativ sein sollte, denn es gilt beispielsweise

 .

Der Matrizenring   ist genau dann kommutativ, wenn   ist und   kommutativ ist.[1]

Das Zentrum des Matrizenrings, also die Menge der Elemente, die mit allen anderen kommutieren, ist

 ,

wobei   das Zentrum von   ist.[1]

IsomorphienBearbeiten

Der Matrizenring   ist isomorph zum Ring der Endomorphismen (Selbstabbildungen) des freien Moduls  , also

 .

Die komponentenweise Addition von Abbildungen entspricht dabei der Matrizenaddition und die Hintereinanderausführung von Abbildungen der Matrizenmultiplikation. Der Nullmatrix entspricht die Nullabbildung und der Einsmatrix die identische Abbildung.

Ein unitärer Ring   ist genau dann isomorph zum Matrizenring  , wenn es eine Menge von   Elementen  ,  , gibt, sodass

 

sowie

 

gelten und wenn der Zentralisator dieser Elemente in   isomorph zu   ist.[1]

KenngrößenBearbeiten

DeterminanteBearbeiten

Ist   kommutativ, dann wird die Determinante einer Matrix als normierte alternierende Multilinearform   definiert. Die Determinante einer Matrix kann dann über die Leibniz-Formel

 

ermittelt werden, wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe   vom Grad   läuft und   das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet. Für die Determinante des Produkts zweier Matrizen gilt der Determinantenproduktsatz

 .

RangBearbeiten

Der Spaltenrang einer Matrix wird als die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in dem freien Modul   definiert. Entsprechend ist der Zeilenrang einer Matrix die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Ist   kommutativ, dann stimmen Spaltenrang und Zeilenrang überein und man spricht von dem Rang der Matrix, wobei

 

gilt. Für den Rang des Produkts zweier Matrizen gilt dann[2]

 .

UnterstrukturenBearbeiten

UnterringeBearbeiten

Die quadratischen Matrizen mit Einträgen aus einem Untering   von   bilden ebenfalls einen Unterring   im Matrizenring  . Matrizenringe weisen jedoch weitere Unterringe auf. Beispielsweise werden strukturelle Unterringe gebildet durch:

  • die Menge der Diagonalmatrizen; dieser Unterring ist kommutativ, falls   kommutativ ist
  • die Menge der (strikt) oberen oder (strikt) unteren Dreiecksmatrizen
  • die Menge der Blockdiagonalmatrizen oder Blockdreiecksmatrizen
  • die Menge der Matrizen, bei denen bestimmte Spalten oder Zeilen nur Nulleinträge besitzen

Viele Ringe lassen sich als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings. Diese Unterringe werden gelegentlich auch als Matrizenringe bezeichnet und der Matrizenring   dann zur besseren Unterscheidung voller Matrizenring genannt.

EinheitenBearbeiten

Die Einheitengruppe im Matrizenring   ist die allgemeine lineare Gruppe   bestehend aus den regulären Matrizen. Für die Inverse des Produkts zweier regulärer Matrizen   gilt

 .

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des freien Moduls   bilden. Ist   kommutativ, dann existiert zu jeder Matrix   eine Adjunkte  , sodass

 

gilt. In diesem Fall ist die Invertierbarkeit einer Matrix äquivalent zur Invertierbarkeit ihrer Determinante   in  .[1]

IdealeBearbeiten

Die Ideale im Matrizenring   sind gerade durch   gegeben, wobei   ein Ideal von   ist. Die Faktorringe des Matrizenrings werden damit durch

 

charakterisiert.

MatrizenalgebraBearbeiten

Ist speziell   ein Körper oder Schiefkörper, dann ist der Matrizenring   einfach, das heißt, er besitzt nur den Nullring   und den ganzen Ring   als triviale Ideale. Nach dem Satz von Artin-Wedderburn ist jeder halbeinfache Ring isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Mit der komponentenweisen Skalarmultiplikation bildet der Matrizenring   eine assoziative Algebra.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d e D.A. Suprunenko: Matrix ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
  2. O.A. Ivanova: Rank. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

WeblinksBearbeiten