Eine Permutationsgruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung. Die Gruppe aller Permutationen von nennt man ihre symmetrische Gruppe . Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen.

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe, also zu einer Permutationsgruppe isomorph. Insofern „ist“ jede endliche Gruppe eine Permutationsgruppe. Sieht man die endliche Gruppe als abstrakte algebraische Struktur an, dann sagt man daher genauer: operiert als Permutationsgruppe auf der Menge . Damit wird deutlich, dass es sich bei dieser treuen Permutationsdarstellung um eine eindeutige Beschreibung der Gruppenstruktur handelt, neben der auch andere Beschreibungen möglich sind.

Definitionen

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Definition durch eine Gruppenoperation

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Sei   eine Gruppe mit dem neutralen Element  .   operiert genau dann als Permutationsgruppe auf  , wenn gilt:[1]

  1.   ist eine endliche Menge.
  2.   operiert auf  , das bedeutet, dass eine Abbildung   existiert, die den Regeln   für alle   gehorcht.
  3. Die Operation   ist treu (engl.: faithful[2]), das heißt, es gilt: Ist   für alle  , dann folgt  . Oder es gilt gleichwertig:   für alle  , dann folgt  .

Eine Gruppenoperation, die nur die 2. und 3. Bedingung erfüllt, heißt treu.   operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf  , wenn die Operation treu und   endlich ist. Eine Gruppenoperation, die nur die 1. und 2. Bedingung erfüllt, wird als Permutationsdarstellung (engl.: permutation representation[2]) von   bezeichnet.   operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf  , wenn die Gruppenoperation eine treue Permutationsdarstellung ist.

Definition durch einen Gruppenhomomorphismus

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Gleichwertige Beschreibung:[2]   operiert genau dann als Permutationsgruppe auf  , falls   eine endliche Menge ist und ein injektiver Gruppenhomomorphismus   existiert. Dabei ist  , also die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen der Menge  . Bei dieser Beschreibung ist die Operation   aus der ersten Definition durch   gegeben, die Forderung der Injektivität ist gleichwertig zur Forderung, dass die Operation treu sei.

Man beachte, dass bei den hier genannten Definitionen für eine Permutationsgruppe nicht gesondert gefordert werden muss, dass die Gruppe   endlich sei; dies ergibt sich aus der Endlichkeit von  .

Isomorphie als Permutationsgruppen

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Für zwei Gruppen   und  , die auf zwei endlichen Mengen   bzw.   als Permutationsgruppen operieren, wird eine Verschärfung des Isomorphiebegriffs definiert:   und   heißen isomorph als Permutationsgruppen genau dann, wenn ein Gruppenisomorphismus   und eine Bijektion   existiert, so dass   für alle   gilt. Man kann zeigen, dass zwei Gruppen   und  , die auf derselben Menge   treu operieren, genau dann als Permutationsgruppen isomorph sind, wenn ihre durch die Gruppenoperationen bestimmten Bildgruppen   in der symmetrischen Gruppe   konjugierte Untergruppen sind, das heißt, wenn sie durch Konjugation mit einem festen Gruppenelement aufeinander abgebildet werden können.

Semiregulär und regulär

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  • Wenn   auf   als Permutationsgruppe operiert, wird diese Operation genau dann semiregulär und   semireguläre Permutationsgruppe genannt,[3] wenn das einzige Element von  , das irgendein Element von   fixiert, das Einselement von   ist. Formal:  
  • Die Operation heißt genau dann regulär und man nennt   genau dann eine reguläre Permutationsgruppe auf  , wenn die Operation semiregulär und transitiv ist. Die Operation heißt transitiv, wenn jedes Element von   durch die Operation auf irgendein beliebiges Element von   abgebildet werden kann. Formal:   Siehe zu weiteren möglichen Transitivitätseigenschaften einer Permutationsgruppe Gruppenoperation#Transitive Gruppenoperation.
Wortgleich, aber mit Bedeutungsunterschied!

In dem Begriff (links-)reguläre Darstellung und auch in dem auf Gruppen spezialisierten Sinn dieses Wortes, wie er im Artikel Satz von Cayley beschrieben ist, beschreibt regulär als Homonym eine Eigenschaft, die die hier beschriebene weder spezialisiert noch verallgemeinert! Die in Satz von Cayley beschriebene „spezielle reguläre Darstellung“, bei der die Gruppe via Linksmultiplikation auf sich selbst operiert, ist tatsächlich – vielleicht eher zufällig – eine, aber im Allgemeinen nicht die einzige „reguläre Permutationsdarstellung“ der Gruppe. Dieser Spezialfall wird bei den Beispielen in diesem Artikel erläutert.

Eigenschaften

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Die in diesem Abschnitt beschriebenen Eigenschaften finden sich in dem Lehrbuch Design Theory, das in der Literatur genannt ist.[4] Triviale Eigenschaften werden hier oder im Abschnitt Beispiele und Gegenbeispiele in diesem Artikel demonstriert.

  • Jede endliche Gruppe lässt eine Darstellung als reguläre Permutationsgruppe zu. Eine solche Darstellung ist durch die „Linksmultiplikation“ der Gruppe auf sich gegeben, siehe bei den Beispielen.
  • Für jede endliche Gruppe kann auf jeder beliebigen endlichen Menge   eine Permutationsdarstellung als Gruppenoperation erklärt werden, man wähle etwa die triviale Operation  . Eine treue Permutationsdarstellung erfordert jedoch eine von der Gruppenstruktur abhängige Mindestanzahl   an Elementen. Dann existiert für jede natürliche Zahl  , die nicht kleiner als   ist, eine treue Permutationsdarstellung auf jeder Menge mit   Elementen.
  • Nur für die triviale Einsgruppe   ist  .
  • Enthält die Gruppe   ein Element der Ordnung  , wobei   eine Primzahlpotenz ist, dann ist  .
  • Speziell gilt dann nach dem Satz von Cauchy, einem Spezialfall eines der Sylowsätze: Teilt die Primzahl   die Gruppenordnung, dann ist  .
→ In Satz von Cayley#Minimale Permutationsdarstellungen, gemeint sind damit dort minimale reguläre Darstellungen als Permutationsgruppe im Sprachgebrauch des vorliegenden Artikels, wird die Frage nach der Größe von   vertieft.
  • Sei   eine Gruppe,   eine Untergruppe. Wenn   auf   als Permutationsgruppe operiert, dann operiert auch   über die auf diese Untergruppe eingeschränkte Operation als Permutationsgruppe auf  .
  • Ist die Operation von   transitiv, dann ist es auch die von  ; umgekehrt kann die Operation von   transitiv sein, die eingeschränkte von   aber nicht.
  • Ist dagegen die Operation von   semiregulär, dann ist es ebenso die von  ; auch hier muss die Umkehrung nicht gelten.

Beispiele und Gegenbeispiele

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Die Ideen zu den in diesem Abschnitt genannten Beispiele finden sich dem Sinne nach in dem Lehrbuch Design Theory, das in der Literatur genannt ist.[4]

  • Jede endliche Gruppe   operiert auf sich selbst   durch die Linksmultiplikation  . Diese Operation ist treu und semiregulär (wegen der Kürzungsregel für Gruppen) und transitiv, also operiert jede endliche Gruppe via Linksmultiplikation als reguläre Permutationsgruppe auf der Menge ihrer Elemente und ist damit isomorph zu einer transitiven Untergruppe der symmetrischen Gruppe  , wenn     Elemente enthält. Die Rechtsmultiplikation führt im Allgemeinen zu einer anderen Einbettung der Gruppe in  , außerdem muss dafür die Gruppenverknüpfung umgekehrt werden:  ,  , damit die Rechtsmultiplikation den oben genannten Regeln (2.) für eine Operation von links genügt, oder die Regeln müssen für eine Operation von rechts sinngemäß umformuliert werden.
  • Die zyklische Restklassengruppe   operiert regulär durch die Linksaddition   auf sich selbst und in der gleichen Weise auf den Resten  .
  • Die symmetrische Gruppe   auf   Elementen operiert in ihrer Ausgangsdarstellung auf   treu und transitiv, aber nur für   semiregulär. Auf sich selbst operiert sie aber mit der Linksmultiplikation als reguläre Permutationsgruppe.
  • Eine endliche Gruppe   operiert auf sich selbst auch durch Konjugation  . Diese Operation ist aber im Allgemeinen nicht treu. Jede endliche, nichtkommutative, einfache Gruppe operiert jedoch via Konjugation als Permutationsgruppe (also treu) auf sich selbst.
  • Die lineare Gruppe   (  Primzahlpotenz) operiert als Permutationsgruppe auf  .   ist die endliche Menge der Vektoren in dem  -dimensionalen Vektorraum über dem endlichen Körper   mit   Elementen. Die Operation ist transitiv auf  , aber im Allgemeinen nicht semiregulär.
  • Sind   ein echter linearer Teilraum von   und   die Untergruppe, die   als Ganzes auf sich selbst abbildet, dann operiert   transitiv, aber nicht als Permutationsgruppe auf  , denn die Operation ist nicht treu. Dagegen operiert die Faktorgruppe  , wobei   die Untergruppe von   und   ist, die jedes einzelne Element von   fixiert, in natürlicher Weise transitiv als Permutationsgruppe auf  .
  • Für einen unendlichen Körper   (zum Beispiel  ) operiert   zwar treu und transitiv, aber nicht als Permutationsgruppe auf  , denn   ist nicht endlich.
  • Sei   die Kleinsche Vierergruppe als Untergruppe der symmetrischen Gruppe  .   operiert als reguläre Permutationsgruppe auf  .
  • Die Gruppe   enthält drei weitere, zu   isomorphe Untergruppen, z. B.  . Da  , wie hier definiert, semiregulär auf   operiert,   dagegen nicht und weil die Bahn von   bei der Operation von   nur zwei Elemente enthält, sind die beiden Untergruppen nicht als Permutationsgruppen auf   isomorph. Dagegen ist   zu den anderen beiden (von   verschiedenen!) Gruppen, die von zwei disjunkten Transpositionen erzeugt werden, isomorph als Permutationsgruppe.
  • Die Untergruppe   ist wie   transitiv, aber   ist im Gegensatz zu   nicht semiregulär.
  • Die zyklische Gruppe mit sechs Elementen   operiert als reguläre Permutationsgruppe via Linksmultiplikation auf sich selbst, das entspricht ihrer üblichen Permutationsdarstellung   auf  . Sie operiert aber auch als Permutationsgruppe   auf der Menge  , hier aber nicht transitiv und nicht semiregulär. Die Zahl   ist für diese Gruppe die Mindestmächtigkeit für eine Menge, auf der   als Permutationsgruppe operiert. Die eingeschränkte Operation von   ist semiregulär, aber nicht transitiv.
  • Die zyklische Gruppe mit drei Elementen   operiert regulär auf  , ihre Permutationsdarstellung kann als Einschränkung der Operation der symmetrischen Gruppe  , deren Untergruppe   ist, angesehen werden. Aber   operiert auf   zwar transitiv, aber nicht semiregulär.

Endliche Symmetriegruppen

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In der Geometrie treten viele Gruppen auf, die dadurch definiert sind, dass sie eine geometrische Figur als Ganzes auf sich abbilden. Zum Beispiel ist die Gruppe der Bewegungen des dreidimensionalen Anschauungsraums, die den Einheitswürfel (aufgespannt von den drei Standardbasisvektoren) als Ganzes auf sich abbilden, eine typische Symmetriegruppe.

  • Die Symmetriegruppe eines (nichtentarteten[5]) Polyeders im Anschauungsraum operiert als Permutationsgruppe auf der (endlichen!) Menge der Eckpunkte des Polyeders.
  • Die Symmetriegruppe   einer Kugel im Anschauungsraum operiert transitiv auf der Menge   der Punkte auf der Kugeloberfläche, aber auf keiner Menge   als Permutationsgruppe: Weil die Operation auf   transitiv ist, lässt sie sich nicht für die ganze Symmetriegruppe   auf eine endliche Punktmenge   beschränken. Dagegen kann die Symmetriegruppe des Einheitswürfels als Untergruppe von   aufgefasst werden, wenn man als Kugel die dem Würfel umbeschriebene Kugel wählt, also die Kugel durch alle Eckpunkte des Würfels.
  • Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks in der reellen Ebene operiert als transitive Permutationsgruppe, aber nicht semiregulär auf der Menge der Eckpunkte des Dreiecks.
  • Allgemeiner operiert die Symmetriegruppe   eines regelmäßigen  -Ecks ( ) in der Ebene als transitive, nicht semireguläre Permutationsgruppe auf der Menge   der Eckpunkte des  -Ecks. Diese Beschreibung kann für   als Definition der Diedergruppe   (als Untergruppe der symmetrischen Gruppe  ) benutzt werden.
  • Die Symmetriegruppe einer Strecke auf der reellen Geraden (also eines reellen Intervalls  ) operiert als reguläre Permutationsgruppe auf deren Randpunkten. Sie ist die zweielementige Gruppe  , wobei   die Spiegelung der Geraden an der Intervallmitte   ist.
  • Dagegen operiert die Symmetriegruppe   (im oben beschrieben Sinn) einer Strecke im dreidimensionalen Raum nicht treu und daher nicht als Permutationsgruppe auf den Randpunkten der Strecke. Diese Gruppe ist sogar unendlich – man beachte die Drehungen, bei denen die Strecke auf der Achse liegt! Wie in dem Beispiel eines linearen Unterraums in einem endlichen Vektorraum weiter oben muss man zu der Faktorgruppe   nach der Untergruppe   der Bewegungen, die jeden Punkt der Strecke auf sich abbilden, übergehen. Damit gelangt man wieder zu einer Gruppe, die zu der im vorigen Beispiel genannten Gruppe isomorph ist. Oft wird diese kanonische Faktorgruppe dann als die Symmetriegruppe (hier: der Strecke) bezeichnet.

Automorphismengruppen endlicher Strukturen

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Die strukturerhaltenden, bijektiven Selbstabbildungen endlicher Strukturen, zum Beispiel der endlichen Inzidenzstrukturen, der Blockpläne, der endlichen projektiven Ebenen usw., operieren als Permutationsgruppen auf der endlichen Menge   der „Elemente“ der Struktur (für Inzidenzstrukturen  , also der Menge der „Punkte“ zusammen mit der Menge der „Blöcke“). In den wichtigen Fällen, etwa für alle einfachen Blockpläne (also auch für alle „klassischen“ endlichen Geometrien), genügt es, als Menge die Punkt- oder die Blockmenge zu verwenden, da die Automorphismengruppen bereits auf wenigstens einer dieser Mengen treu operiert. Meist wird die Punktmenge verwendet. Die Gruppe aller strukturerhaltenden, bijektiven Selbstabbildungen der Struktur   wird als volle Automorphismengruppe   der Struktur, jede ihrer Untergruppen als Automorphismengruppe bezeichnet. Nach Konstruktion operieren diese Gruppen als Permutationsgruppen auf der Menge der Strukturelemente, in den angesprochenen wichtigsten Fällen bereits auf der Punktmenge.

  • Die endliche einfache Gruppe   operiert als Permutations- und volle Automorphismengruppe transitiv, aber nicht regulär auf der projektiven Fano-Ebene  , d. h. konkret auf der Menge ihrer sieben Punkte. Im Artikel Fano-Ebene ist die Struktur dieser Gruppe und die hier beschriebene treue Permutationsdarstellung als Untergruppe der alternierenden Gruppe   ausführlich dargestellt.
  • Die fünf sporadischen Mathieugruppen operieren als Permutations- und volle Automorphismengruppen auf jeweils einem ihnen zugeordneten Wittschen Blockplan – auch hier genügt die Punktmenge für die eindeutige Beschreibung.
  • Ein etwas gekünsteltes Beispiel einer Inzidenzstruktur, bei der die volle Automorphismengruppe weder auf der Punkt- noch auf der Blockmenge allein als Permutationsgruppe operiert, ist   mit den Mengen  ,   und  . Hier ist die Automorphismengruppe das Erzeugnis  , also ist   isomorph zur Kleinschen Vierergruppe  . Aber   operiert weder auf der Punkt- noch auf der Blockmenge treu! Die gleichen Aussagen gelten, wenn man für diese Punkt- und Blockmenge die Inzidenz statt durch   durch   definiert.

Permutationsdarstellung

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Zu einer Permutationsgruppe assoziierte lineare Darstellung

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Sei   eine endliche Menge, auf der die Gruppe   operiert. Die Gruppe   ist dann die Gruppe aller Permutationen von   mit der Komposition als Verknüpfung.
Die Operation einer Gruppe auf einer endlichen Menge wird manchmal bereits als ausreichend für die Definition der Permutationsdarstellung betrachtet. Da wir aber Beispiele für lineare Darstellungen geben wollen, bei denen die Gruppe auf einem Vektorraum und nicht auf einer beliebigen endlichen Menge operiert, wählen wir den folgenden Ansatz:
Wir konstruieren die zu   assoziierte Permutationsdarstellung als Darstellung von   in einem Vektorraum  , dessen Basis mit den Elementen aus   indiziert werden kann und die die Eigenschaft   für alle   und   erfüllt. Dadurch sind die linearen Abbildungen   eindeutig festgelegt.

Beispiel

Seien   und  . Dann operiert   auf   via  .
Die zugehörige lineare Darstellung ist  , wobei   für   und  .

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Sei   eine Gruppe mit   und sei   ein Vektorraum der Dimension  , dessen Basis   mit den Elementen aus   indiziert werde. Die linksreguläre Darstellung ist dann ein Sonderfall der Permutationsdarstellung, in welchem wir   setzen. Es gilt also   für alle  . Damit bildet die Familie   der Bilder von   eine Basis von  , wobei wir hier das neutrale Element der Gruppe   mit   bezeichnet haben. Der Grad der linksregulären Darstellung entspricht der Gruppenordnung.
Die rechtsreguläre Darstellung wird ähnlich definiert: In diesem Fall operiert   von rechts auf der mit Elementen aus   indizierten Basis von  :  . Auch hier bilden die Bilder des ersten Basisvektors unter der Operation eine Basis des Vektorraums und der Grad entspricht der Gruppenordnung.
Die beiden Darstellungen sind via   isomorph zueinander. Daher spricht man hier häufig auch nur von der regulären Darstellung.
Eine nähere Betrachtung ergibt, dass jede lineare Darstellung   mit der Eigenschaft, dass es ein   gibt, sodass   eine Basis von   ist, isomorph zur linksregulären Darstellung ist.

Beispiel

Seien   und   mit Basis  . Die linksreguläre Darstellung   ist dann definiert durch   für  .
Die rechtsreguläre Darstellung erhält man analog durch   für  .

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Artin (1993)
  2. a b c Beth, Jungnickel, Lenz, Definition III.3.1
  3. Beth, Jungnickel, Lenz, Definition III.3.8: engl.: semiregular permutation group
  4. a b Beth, Jungnickel, Lenz
  5. Das bedeutet hier: Keine drei Eckpunkte liegen auf derselben Geraden und die Menge aller Eckpunkte liegt nicht in einer gemeinsamen Ebene