Satz von Cauchy (Gruppentheorie)

Satz aus der Gruppentheorie

Der Satz von Cauchy ist ein mathematischer Satz der Gruppentheorie, der die Existenz von Elementen in einer endlichen Gruppe mit bestimmten Ordnungen nachweist. Der Satz ist nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt, der ihn 1845 bewiesen hat.[1]

Der Satz von Cauchy besagt:[2][3]

Wenn eine Primzahl   die Gruppenordnung einer endlichen Gruppe   teilt, dann enthält   ein Element der Ordnung  .

Einordnung

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Der Satz ist eine teilweise Umkehrung des Satzes von Lagrange, der besagt, dass die Ordnung einer beliebigen Untergruppe einer endlichen Gruppe   die Ordnung von   teilt: Zu jedem Primteiler   der Gruppenordnung, so ließe sich der Satz von Cauchy auch formulieren, existiert (wenigstens) eine Untergruppe der Ordnung  .

Man kann den Satz auch als Spezialfall des 1. Sylow-Satzes betrachten, der besagt, dass es zu jedem Teiler   der Gruppenordnung, der eine Primzahlpotenz   ist, eine Untergruppe der Ordnung  , also eine p-Untergruppe von   gibt. Die Sylow-Sätze wurden von Peter Ludwig Mejdell Sylow erheblich später als der Satz von Cauchy, im Jahr 1872 bewiesen und für den induktiv geführten Beweis des 1. Satzes wird die Aussage des Satzes von Cauchy als Induktionsanfang benötigt.

Der folgende Beweis findet sich im Lehrbuch von Hungerford[4] und geht auf den Mathematiker J. H. McKay[5] zurück. Sei   eine endliche Gruppe und   ein Primteiler ihrer Gruppenordnung. Man betrachtet die Menge   aller  -Tupel   mit der Eigenschaft, dass das Produkt  , also gleich dem neutralen Element   von   ist. Auf dieser Menge operiert die zyklische Gruppe mit   Elementen   durch zyklische Vertauschung, d. h. für  .   enthält genau   Elemente, denn bei beliebiger Vorgabe der ersten   Gruppenelemente im Tupel gibt es immer genau ein letztes Element, so dass das Tupel in   liegt – das inverse Element des vorgegebenen Produkts. Ein Element von   wird durch diese Operation von   genau dann fixiert, wenn es als Einträge   mal dasselbe Gruppenelement   hat. Sicher ist das Tupel, das   mal das Einselement   von   enthält, ein solches Fixelement, also existieren solche Fixelemente. Aus der Bahnformel folgt nun, dass für jede Bahn in   die Anzahl   ihrer Elemente ein Teiler der Ordnung von  , also von   ist. Da   eine Primzahl ist, kann also nur   oder   gelten. Die Menge   zerfällt nun in solche Bahnen, daher muss die Anzahl der Fixelemente ( ) ein Vielfaches von   sein, da auch   wie   nach Voraussetzung von   geteilt wird. Also gibt es mindestens ein von dem Tupel, das nur das neutrale Element von   enthält, verschiedenes Fixelement   in  . Damit aber erfüllt   die Bedingung   und erzeugt daher die gesuchte Untergruppe   mit   Elementen.

Alternativer Beweis im abelschen Fall

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Für den Fall, dass die Gruppe   abelsch ist, lässt sich der Satz von Cauchy auch per starker Induktion nach   beweisen. Sei   endlich und abelsch. Für den Induktionsanfang sei  . Nach dem Satz von Lagrange wird   von jedem nicht-neutralen Element erzeugt, insbesondere hat jedes solche Element Ordnung  . Für den Induktionsschritt sei   ein beliebiges nicht-neutrales Element in  . Teilt   die Ordnung von  , so hat   Ordnung  . Teilt   die Ordnung von   nicht, betrachte die von   erzeugte zyklische Untergruppe  . Da   abelsch ist, ist   ein Normalteiler von   und die Faktorgruppe   existiert. Da   prim ist, teilt   die Ordnung von  , welche nach Induktionsvoraussetzung ein Element   der Ordnung   enthält. Da  , teilt   die Ordnung von   in  . Entsprechend hat   die Ordnung   in  , was den Satz beweist.

Folgerung

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Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe  . Man kann sich nun fragen, wie groß   für eine solche (treue!) Darstellung als Permutationsgruppe mindestens sein muss. Ist   die Ordnung der Gruppe  , dann kann man explizit eine Darstellung mit   angeben, aber dieser Wert ist nur in wenigen Spezialfällen minimal. Ein Element von Primzahlpotenzordnung   kann nur treu auf einer Menge operieren, die wenigstens   Elemente enthält. Die Existenz eines solchen Elementes kann aus der Ordnung von   allein nur im Fall   gefolgert werden – und das eben ist Cauchys Spezialfall des ersten Sylowsatzes.

Literatur

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  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, I.5, S. 93.
  • Martin Hertweck: Skript zur Vorlesung Theorie der endlichen Gruppen. Hrsg.: Universität Stuttgart. 2008, Kap. 6, S. 20 (igt.uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 20. März 2013]).
  • Hans Wussing: Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969 (Zur Geschichte des Satzes).
  • James McKay: Another proof of Cauchy’s group theorem. In: American Mathematical Monthly. Nr. 66, 1959, S. 119 (Beweis des Satzes).
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Einzelnachweise

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  1. Wussing (1969)
  2. Hertweck (2008), Satz 6.11.
  3. Hungerford (1989) Satz 5.2
  4. Hungerford (1989), S. 93
  5. McKay (1959)