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Endliche Gruppen treten im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie auf. Eine Gruppe heißt endliche Gruppe, wenn eine endliche Menge ist, also eine endliche Anzahl von Elementen hat.

Inhaltsverzeichnis

AxiomeBearbeiten

Die Annahme der Endlichkeit ermöglicht ein vereinfachtes Axiomensystem:[1]

Ein Paar   mit einer endlichen Menge   und einer inneren zweistelligen Verknüpfung   heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  • Assoziativität: Für alle Gruppenelemente   gilt  ,
  • Kürzungsregel: Aus   oder   folgt  .

Aus der Kürzungsregel folgt, dass die Links- und Rechtsmultiplikationen   und   injektiv sind, woraus wegen der Endlichkeit auch die Surjektivität folgt. Daher gibt es ein   mit  , was zur Existenz des neutralen Elementes   führt, und dann ein   mit  , was die Existenz der inversen Elemente zeigt.

Endliche UntergruppeBearbeiten

Die allgemeine Bedingung, dass eine nichtleere Menge   eine Untergruppe der Gruppe   ist,

S1:  
S2:  

vereinfacht sich ebenfalls, da S2 aus S1 folgt: Wenn   endlich ist, muss jedes Element   von   eine endliche Ordnung   besitzen, woraus   folgt. Das bedeutet aber, dass   bereits in   ist. Eine nichtleere endliche Teilmenge   einer beliebigen Gruppe ist also genau dann eine Untergruppe, wenn für alle   auch   in   liegt.

Einfache GruppenBearbeiten

Jede endliche Gruppe ist zusammengesetzt aus einer endlichen Anzahl von endlichen einfachen Gruppen. Jedoch kann diese Zusammensetzung kompliziert sein. Trotz Kenntnis der Bausteine (der einfachen Gruppen) ist man noch weit davon entfernt, alle endlichen Gruppen zu kennen.

Obwohl die endlichen einfachen Gruppen seit 1982 als vollständig klassifiziert galten, schlossen Mathematiker um Aschbacher die Klassifikation erst im Jahre 2002 mit einem 1200 Seiten langen Beweis ab:[2]

BeispieleBearbeiten

AnwendungenBearbeiten

Symmetrien von Körpern, namentlich in der Molekülphysik, werden durch Punktgruppen beschrieben; Symmetrien von Kristallen durch 230 verschiedene Raumgruppen.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Van der Waerden: Algebra I. Springer, 1971, 8. Auflage, S. 15–17.
  2. Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups. AMS.