Zentrum (Algebra)

in der Algebra eine bestimmte Teilmenge einer Struktur

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenige Teilmenge der betrachteten Struktur, die aus all den Elementen besteht, die mit allen Elementen bzgl. der Multiplikation kommutieren.

Zentrum einer GruppeBearbeiten

Ist   eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge

 

EigenschaftenBearbeiten

Das Zentrum von   ist eine Untergruppe, denn sind   und   aus  , dann gilt für jedes  

 

also liegt auch   im Zentrum. Analog zeigt man, dass   im Zentrum liegt:

 .

Das neutrale Element der Gruppe   liegt stets im Zentrum:  .

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von  , es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von  .   ist genau dann abelsch, wenn  .

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen   von  , für die die Konjugation mit  , also  , die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren. Es gilt  .

BeispieleBearbeiten

  • Das Zentrum der symmetrischen Gruppe vom Grad 3   besteht nur aus dem neutralen Element  , denn:
 
 
 
 
  • Die Diedergruppe   besteht aus den Bewegungen der Ebene, die ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es sind dies die Drehungen um den Mittelpunkt des Quadrats um Winkel von 0°, 90°, 180° und 270°, sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen und den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen um 0° und um 180°.
  • Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen mit Einträgen in den reellen Zahlen besteht aus den reellen Vielfachen der Einheitsmatrix.

Zentrum eines RingsBearbeiten

Das Zentrum eines Rings   besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:

 

Das Zentrum   ist ein kommutativer Unterring von  . Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

Zentrum einer assoziativen AlgebraBearbeiten

Das Zentrum einer assoziativen Algebra   ist die kommutative Unteralgebra

 

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Lie-AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Das Zentrum einer Lie-Algebra   ist das (abelsche) Ideal

 ,

wobei   die Lie-Klammer also die Multiplikation in   bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

BeispielBearbeiten

 .
  • Für eine assoziative Algebra mit dem Kommutator als Lieklammer stimmen die beiden Zentrumsbegriffe überein.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten