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In der Mathematik ist die Einheitengruppe eines Rings mit Einselement die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente. Sie ist mit der Ringmultiplikation eine Gruppe.

Die Einheitengruppen von (unitären) assoziativen Algebren können als Verallgemeinerung der allgemeinen linearen Gruppe angesehen werden.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Ring mit 1. Die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente (Einheiten) von   bildet mit der Ringmultiplikation eine Gruppe. Sie wird Einheitengruppe von   genannt. Man schreibt die Einheitengruppe meist als   oder als  . Die Definition lässt sich auf Monoide übertragen.

Eigenschaften und verwandte BegriffeBearbeiten

  • Ein kommutativer Ring mit 1, dessen Einheitengruppe aus allen Elementen außer der Null besteht, ist bereits ein Körper.
  • Ein kommutativer Ring mit 1 ist genau dann lokal, wenn das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal ist.

Die Einheitengruppe eines KörpersBearbeiten

Die Einheitengruppe   eines Körpers   heißt multiplikative Gruppe. Sie ist isomorph zur linearen algebraischen Gruppe

 

Jede endliche multiplikative Untergruppe eines kommutativen Körpers   ist zyklisch (s. Einheitswurzel#Einheitswurzeln in Körpern).

BeispieleBearbeiten

  • Die Einheitengruppe des Rings   der ganzen Zahlen besteht aus den beiden Elementen 1 und −1.
  • Die Einheitengruppe des Rings   der rationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen ungleich der Null,   ist also ein Körper.
  • Die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo 10 besteht aus den Elementen 1, 3, 7 und 9.
  • Ist   eine Primzahl, so gibt es in   genau   Einheiten.
  • Allgemein: Ist  , so gibt es in   genau   Einheiten. Dabei ist   die Euler-Funktion.   ist die Anzahl der natürlichen Zahlen, die nicht größer als   und teilerfremd zu   sind.[1]
  • Die Einheitengruppe des Matrizenrings der  -Matrizen mit Koeffizienten in einem Körper   heißt allgemeine lineare Gruppe  .   und   sind Lie-Gruppen.

LiteraturBearbeiten

  • Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1.
  • Armin Leutbecher: Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-58791-8.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: Zahlentheorie für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, Seite 113.