Diskreter Bewertungsring

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften.

DefinitionBearbeiten

Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Hauptidealring, der kein Körper ist.

Ein Erzeuger des maximalen Ideals heißt uniformisierendes Element oder kurz Uniformisierendes. Man schreibt auch kurz DVR (für discrete valuation ring) oder DBR.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein diskreter Bewertungsring ist ein Dedekindring, insbesondere ein regulärer lokaler Integritätsring.
  • Das Spektrum   eines diskreten Bewertungsringes   besteht aus genau zwei Punkten:
    • Einem abgeschlossenen Punkt, dem speziellen Punkt, zugehörig zum maximalen Ideal   (wenn   das uniformisierende Element ist)
    • und einem nicht abgeschlossenen (aber offenen) Punkt, dem generischen Punkt  .
  • Für einen diskreten Bewertungsring   wird durch   eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper definiert (wenn   für   in  ). Diese Bewertung hat   als Bewertungsring.
  • Ordnet man einem diskret bewerteten Körper   seinen Bewertungsring   zu und wendet darauf obige Konstruktion an, so erhält man einen diskret bewerteten Körper, der isomorph zu   ist. Mit anderen Worten: Diese Konstruktionen induzieren eine Äquivalenz von Kategorien zwischen diskret bewerteten Körpern und diskreten Bewertungsringen.

BeispieleBearbeiten

  • Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen   für jede Primzahl  .   ist dicht in  .
  • Der Ring der rationalen Zahlen, die p-adisch ganz sind, für eine Primzahl  
              .
    Es ist   und   ist dicht in  .
  • Der Ring der formalen Potenzreihen   in einer Unbestimmten über einem Körper  .
  • Der Ring der konvergenten Potenzreihen
 

LiteraturBearbeiten

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 9, ISBN 0-201-00361-9