Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei   ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik  . Ein Zusammenhang   auf   heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte  

 

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle  

 

BeispieleBearbeiten

Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel   an   mit der riemannschen Metrik von  . Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner RaumBearbeiten

Sei   ein Vektorbündel mit Metrik   dann ist die Menge   der metrischen Zusammenhänge auf   ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus   d. h., es gibt eine Abbildung

 

so dass mit der Notation  

  1. für jedes   die Gleichung   gilt,
  2. für jedes   und für alle   das Assoziativgesetz   gilt und
  3. für alle   die Abbildung   bijektiv ist.

LiteraturBearbeiten