Dichteste Kugelpackung

geometrische Anordnung unendlich vieler Kugeln gleicher Größe im 3-dimensionalen Raum in der Weise, dass diese einander nur berühren und nicht überlappen und dabei den verbleibenden Leerraum minimal lassen
Pyramide aus dichtest gepackten Kugeln;
jede horizontale Schicht ist wie in
1. Beschreibung belegt
Pyramide aus dichtest gepackten Kanonenkugeln;
jede horizontale Schicht ist wie in
2. Beschreibung belegt

Die dichteste Kugelpackung ist diejenige geometrische Anordnung sich berührender Kugeln, die den kleinsten Raum beansprucht. Die Packungsdichte beträgt etwa 74 %, und der leere Raum zwischen ihnen nimmt etwa 26 % des Gesamtraumes ein:

.

Diese Anordnung lässt sich auf zweierlei Art beschreiben. Sie besteht aus ebenen Schichten, in denen

  1. Kugeln eng beieinander liegen, und jede von ihnen von sechs benachbarten Kugeln und aus der Schicht darüber und aus der darunter von drei Kugeln berührt wird,[1] oder
  2. Kugeln eng beieinander liegen, und jede von ihnen von vier benachbarten Kugeln und aus der Schicht darüber und aus der darunter von vier Kugeln berührt wird.

Übereinstimmend heißt es, dass jede Kugel von 12 anderen berührt wird

Das Problem geht auf Sir Walter Raleigh zurück, der die Frage stellte, wie Kanonenkugeln in einem Schiff am dichtesten gestapelt werden könnten. 1611 äußerte Johannes Kepler die Vermutung, dass die dichteste Kugelpackung den Anordnungen im kubisch-flächenzentrierten und im hexagonalen Kristallsystem entspricht. Diese wurde 1831 von Carl Friedrich Gauß für Anordnungen bewiesen, bei denen die Kugeln auf einem Raum-Gitter liegen (Gitterpackungen).[2] Erst 1998 gelang es dem amerikanischen Mathematiker Thomas Hales, für den allgemeinen Fall die Vermutung mittels eines Computerbeweises zu zeigen. Jedoch wird von Teilen der mathematischen Fachwelt dieser Beweis noch nicht anerkannt.

Unter dichtester Kugelpackung wird die Packungsdichte in einer Anordnung von unendlich vielen Kugeln verstanden. Endlich viele Kugeln weisen deren Wert auch auf, wenn die äußeren Kugeln nur z. T. mitgezählt werden. Die Grenze des betrachteten Bruttoraumes führt durch die Mittelpunkte dieser Kugeln. In der Theorie der endlichen Kugelpackungen ist der Bruttoraum größer. Die ihn bildende Hülle (z. B. ein Sack für kugelförmige Güter) enthält die äußeren Kugeln in Gänze.

StrukturBearbeiten

 
Hexagonale Kugel-Schicht aufgrund regelmäßiger Anordnung gleich großer Kugeln mit einem Übergang zu unregelmäßiger Anordnung verschieden großer Kugeln (Gasblasen).
 
Schwarz: die A-Schicht
Rot: die B-Schicht
Blau: die C-Schicht

Eine dichteste Kugelpackung besteht aus hexagonalen Kugel-Schichten. In einer dieser Schichten (mit A gekennzeichnet) gibt es zwei Arten dreieckiger Leerstellen, eine mit der Spitze nach unten (mit B gekennzeichnet) und eine mit der Spitze nach oben (mit C gekennzeichnet). Auf diese Schicht kann jetzt eine weitere hexagonal dichtest gepackte Kugelschicht so gelegt werden, dass alle Kugeln entweder in den B- oder den C-Lücken sitzen. Eine Struktur, die durch eine entsprechende Stapelung dieser Kugelschichten entsteht, wobei dieselbe Schicht nicht zweimal aufeinander folgen darf, heißt dichteste Kugelpackung. Üblicherweise wird sie durch die Reihenfolge der Stapel beschrieben. Es gibt prinzipiell unendlich viele Möglichkeiten für die Bildung einer dichtesten Kugelpackung. Unabhängig von der Reihenfolge der Schichten berührt dabei jede Kugel immer zwölf Nachbarn (Kusszahl: 12), sechs in der eigenen Schicht, sowie drei je in der darüberliegenden und der darunterliegenden.

Stapelt man die Schichten in einer beliebigen Reihenfolge aufeinander, so hat der Kristall mindestens eine dreizählige Achse in Stapelrichtung. Er hat damit mindestens die Raumgruppe   oder  . Bei entsprechender Stapelung können aber auch höhersymmetrische Strukturen entstehen. Insgesamt sind folgende neun Raumgruppen möglich:  .

BedeutungBearbeiten

Die Anordnung von Atomen in einer dichtesten Kugelpackung entspricht einem wichtigen Grundprinzip bei der Bildung von Kristallen: dem Prinzip der Minimierung des Volumens. Dabei spricht man auch dann von einer dichtesten Kugelpackung, wenn die Atome nicht exakt auf den theoretisch vorgegebenen Positionen liegen.

Einatomige SystemeBearbeiten

 
Kubisch dichteste Kugelpackung (ccp) (links)
Hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp) (rechts)

Die Struktur vieler Metalle entspricht einer dichtesten Kugelpackung. Die beiden dichtesten Kugelpackungen, die hexagonal dichteste Kugelpackung (h.c.p, „hexagonal closed packed“) und die kubisch dichteste Kugelpackung (c.c.p., „cubic closed packed“ oder f.c.c., „face centred cubic“), erzielen dabei mit 74,05 % die dichteste Raumerfüllung.

Die hexagonal dichteste Kugelpackung besteht aus zwei sich wiederholenden Schichten mit der Schichtfolge ABABAB... Somit ist jede Kugel von 12 weiteren Kugeln umgeben, somit ergibt sich eine Koordinationszahl von 12. Das Koordinationspolyeder ist ein Antikuboktaeder. Dieser Strukturtyp hat die Nummer A3 in den Strukturberichten und wird auch Magnesium-Typ genannt. Es kristallisieren Beryllium, Magnesium, die Elemente der Gruppe 3 (Scandium, Yttrium, Lanthan) und die Gruppe 4 (Titan, Zirconium, Hafnium), Technetium, Rhenium, Ruthenium, Cobalt, Zink, Cadmium und Thallium in diesem Strukturtyp.

Die kubisch dichteste Kugelpackung besteht aus drei sich wiederholenden Schichten mit der Schichtfolge ABCABC... Somit ist jede Kugel von 12 weiteren Kugeln umgeben, somit ergibt sich eine Koordinationszahl von 12. Das Koordinationspolyeder ist ein Kuboktaeder. Dieser Strukturtyp hat die Nummer A1 in den Strukturberichten und wird auch Kupfer-Typ genannt. Neben Kupfer kristallisieren Calcium, Strontium, Nickel, Rhodium, Iridium, Palladium, Platin, Silber, Gold, Aluminium und Blei in diesem Strukturtyp.

Insbesondere die leichteren Lanthanoiden und schwerere Actinoiden nehmen bei Standardbedingungen noch eine weitere dichteste Kugelpackung mit der Schichtfolge ABACABAC... an. Diese hat dieselbe Raumgruppe wie die hcp-Struktur, aber mit vier Atomen in der Elementarzelle, und zwar auf (0,0,0) / (0,0,1/2) (Wyckoff-Position 2a) und (1/3,2/3,3/4) / (2/3,1/3,1/4) (Wyckoff-Position 2d). Sie wird daher auch double hexagonal closest packed (dhcp)-Struktur genannt. Praseodym oder Curium sind Elemente, die in diesem Strukturtyp kristallisieren.

Bei realen Kristallen gibt es oft Abweichungen in der Reihenfolge der Schichten von der Idealstruktur. Dieser Baufehler wird Stapelfehler genannt.

Mehratomige SystemeBearbeiten

Viele Kristallstrukturen mit überwiegend ionischem Bindungstyp beruhen auf einer dichtesten Kugelpackung eines Teils der Ionen und der Einlagerung der anderen Ionen in den Lücken. Sind diese Einlagerungsionen zu groß für die Lücke, wird die Kugelpackung entsprechend deformiert. Die Art und das Ausmaß dieser Deformation hängen dabei von dem Größenverhältnis der Gerüstionen zu den Einlagerungsionen ab. Für einige Stöchiometrien gibt es Beziehungen um aus den Ionenradien sogenannte Toleranzfaktoren zu berechnen. Anhand dieser Toleranzfaktoren kann man Vorhersagen über die Struktur und Verhalten des jeweiligen Systems ableiten. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Perowskit-Struktur.

PolytypeBearbeiten

Als Polytype werden Kristalle bezeichnet, die eine Stapelfolge mit langer Wiederholungseinheit besitzen. Beispiele dafür sind Zinksulfid (ZnS) mit mehr als 150 polytypen Formen und Siliciumcarbid (SiC). Diese Polytype verfügen zum Teil über extrem große Gitterkonstanten. So hat das Polytyp von SiC mit der Bezeichnung 393R die Gitterkonstanten a = 3,079 Å und c = 989,6 Å.

Weitere KugelpackungenBearbeiten

Die kubisch innenzentrierte Kugelpackung (b.c.c., body-centered cubic) besteht aus zwei sich wiederholenden Schichten mit der Schichtfolge ABA... Das Koordinationspolyeder um die Atome ist ein Würfel (CN 8) und in etwas weiterer Entfernung ein weiteres Oktaeder (CN=6), so dass insgesamt die Koordinationszahl 8+6 folgt. Damit wird eine Raumerfüllung von 68,02 % erreicht. Dieser Strukturtyp hat die Nummer A2 in den Strukturberichten und wird auch Wolfram-Typ genannt. Es kristallisieren die Alkalimetalle, Barium, die Elemente der Gruppe 5 (Vanadium, Niob, Tantal) und Gruppe 6 (Chrom, Molybdän, Wolfram) und Eisen in diesem Strukturtyp.

Die Elemente Mangan, Quecksilber, Gallium, Germanium, Indium, Zinn, Antimon und Bismut kristallieren in einem eigenen Strukturtyp.

Dichteste Kugelpackungen in anderen als drei DimensionenBearbeiten

In zwei Dimensionen bewies Joseph-Louis Lagrange 1773, dass die hexagonale Anordnung die dichteste Kugelpackung mit Kugeln auf einem Gitter ist. Lässt man auch andere als Gitterpackungen zu, bewies dies Axel Thue 1910 (vervollständigt durch László Fejes Tóth, Kurt Mahler, Beniamino Segre 1940).[3] Der dreidimensionale Fall ist die inzwischen bewiesene Kepler-Vermutung (wobei den Fall von Gitterpackungen schon Carl Friedrich Gauß 1831 löste), in höheren Dimensionen ist das Problem weitgehend offen. Die dichtesten Gitterpackungen sind bis zur Dimension d=8 im euklidischen Raum bekannt.[4] Dabei bestimmten Alexander Nikolajewitsch Korkin und Jegor Iwanowitsch Solotarjow[5][6] die dichtesten Gitterpackungen in den Dimensionen 4 und 5 und Hans Blichfeldt 1934 die Dimensionen 6, 7 und 8. Darüber hinaus ist fast nichts sicher bekannt. Das berühmte Leech-Gitter in 24 Dimensionen und das E8-Gitter (benannt nach der exzeptionellen Liegruppe E8, dessen Wurzelsystem es ist) in acht Dimensionen wurden häufig als dichteste Kugelpackung vermutet, insbesondere nach Entwicklung neuer oberer Schranken für dichteste Kugelpackungen durch Noam Elkies und Henry Cohn (2003), und 2016 kündigte Maryna Viazovska einen Beweis an.

Dichte Kugelpackungen in höheren Dimensionen haben große Bedeutung für die Kodierungstheorie (fehlerkorrigierende Codes).

WeblinksBearbeiten

Commons: Dichteste Kugelpackung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Tóth, László Fejes: Dichteste Kugelpackung, Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft Band 27, 1977, Seite 319
  2. Gauß, Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen von Ludwig August Seber, Göttingesche Gelehrte Anzeigen, 9. Juli 1831, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 20, 1840, S. 312–320, Gauß, Werke, Göttinger Akademie der Wissenschaften Band 2, 1876, S. 188–196
  3. Jörg Wills, Kugelpackungen - Altes und Neues, Mitteilungen DMV, 1995, Nr. 4.
  4. Hypersphere Packing, Wolfram Mathworld.
  5. Eric Weisstein, Hypersphere Packings, Wolfram Mathworld
  6. Korkin, Zolotarev: Sur les formes quadratiques positives. Math. Ann., Band 11, 1877, S. 242–292.