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Stereografische Projektion

mathematische Funktion

Eine stereografische Projektion (auch konforme azimutale Projektion) ist eine Abbildung einer Kugelfläche in eine Ebene mit Hilfe einer Zentralprojektion, deren Projektionszentrum (PZ) auf der Kugel liegt. Die das Projektionszentrum und den Kugelmittelpunkt enthaltende Gerade ist orthogonal zur Bildebene, die traditionell die dem Projektionszentrum gegenüberliegende Tangentialebene ist.[1]

Die stereografische Projektion wurde zuerst bei der Abbildung der Himmelskugel auf dem Astrolabium angewendet. Entdeckt wurde sie bereits in der Antike, vermutlich von Hipparchos um 130 v. Chr. Ausführlich und mit geometrischem Beweis dafür, dass Kreise der Kugeloberfläche in Kreise der Bildebene übergehen (Kreistreue), ist sie in der kleinen Abhandlung Planisphaerium des Ptolemäos (ca. 85–160) dargelegt. Die Idee, die Kreis- und die Winkeltreue dieser Abbildung auch für kartographische Abbildungen der Erdoberfläche zu nutzen, hatte erstmals der Nürnberger Astronom und Mathematiker Johannes Werner (1468–1528).[1]

In der Kristallographie findet die stereografische Projektion praktische Anwendung zur Darstellung der Gitterebenen eines Kristalls und in der Geologie bei der Kartierung von Gesteins-Strukturen.[2]

In der reinen Mathematik hat die stereografische Projektion eine erweiterte, abstraktere Bedeutung. Sie wird auch für höherdimensionale Räume, also nicht nur zur Abbildung aus dem dreidimensionalen in den zweidimensionalen Raum, benutzt.[3][4]

Stereografische Projektion der unteren Hälfte einer Kugel-Oberfläche und eines gegenüber der Bildebene geneigten Großkreises (rot, z. B. die Ekliptik auf der Himmelskugel aus einem Himmelspol)

Inhaltsverzeichnis

AnwendungsbeispieleBearbeiten

 
Stereografische Projektion des nördlichen Sternenhimmels auf einem Astrolabium
 
Drehbare Sternkarte (hier in der heute meistens verwendeten, im Ergebnis ähnlichen, mittabstandstreuen Azimutalprojektion). Die Bezeichnung „PLANISPHERE“ wurde vom Astrolabium übernommen.
 
Liegt die Abbildungsebene auf dem Erdpol, so werden die Meridiane als Gerade und die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol abgebildet. Der hervorgehobene Kreisinhalt ist die Hälfte der Erdoberfläche, er endet am Äquator.
 
Liegt die Abbildungsebene auf dem Äquator, so werden die Meridiane und die Breitenkreise als Kreise abgebildet. Der hervorgehobene Kreisinhalt ist die Hälfte der Erdoberfläche.

Astrolabium und SternkarteBearbeiten

Das links abgebildete Astrolabium enthält den nördlichen Himmel. Die projizierten Sterne (inklusive Tierkreis) befinden sich auf der um das Bild des nördlichen Himmelspols (Polarstern) drehbaren Rete. Auf der festen Unterlage (Tympanon) ist die Safiha eingraviert, die aus den Abbildern der zum Zenit konzentrischen, horizontparallelen Höhenkreise (Almukantarate), des Horizonts (Abbild: eine konkave Linie) und der dazu rechtwinkligen Azimutkreise besteht.

Eine der rechts abgebildeten drehbaren Planisphere ähnliche Sternkarte ist das prinzipiell gleich funktionierende und nützliche, aber preiswertere Folgeprodukt des Astrolabiums.[5] Der unterbrochene Kreisbogen ist die Ekliptik, ein Stück eines in der Abbildung zum Polbild exzentrischen Kreises.

Kartographie der ErdoberflächeBearbeiten

Die leichte zeichnerische Herstellbarkeit (nur Kreise und Geraden für Kreise auf der Erdoberfläche) und die Winkeltreue wurden bereits im Altertum auch für Karten und für die Navigation genutzt. Wird der Berührungspunkt der Abbildungsebene zum Beispiel in eine Hafenstadt gelegt, so sind die kürzesten Wege zu Zielen in allen Richtungen als Geraden abgebildet.

Bei der polaren stereografischen Projektion (der Berührpunkt der Abbildungsebene liegt im Nord- oder Südpol) werden die Meridiane des geografischen Koordinatensystems der Erde als Geraden durch den Erdpol abgebildet (siehe Bild unten links). Die Navigationselemente geografische Länge und geografische Breite werden daher durch diese Projektionsart für Navigationszwecke an den Polen anschaulich wiedergegeben. Die Abbildung der Erdpole als Teile der modernen internationalen Weltkarte erfolgt ebenfalls über die stereografische Projektion.

In der Geophysik werden Karten über die Verteilung von Kräften oder Linienstrukturen auf der Erdkugel auf einem stereografischen Netzentwurf aufgebaut.

KristallographieBearbeiten

Anwendung findet die stereografische Projektion auch in der Kristallographie zur Darstellung der Gitterebenen eines Kristalls, zum Beispiel der eines Diamants.

Mathematische BehandlungBearbeiten

Umrechnung Bild- in ObjektkoordinatenBearbeiten

 
Sphärische Koordinaten   des Punktes   auf der Kugel
 
Stereografische Projektion einer Kugel (-Hälfte): Projektion von Parallelkreisen gleicher Zentriwinkel-Distanz und von Meridiankreisen

Für die Objektpunkte werden sphärische ( , wie in links stehender Abbildung) und für die Bildpunkte ebene Polarkoordinaten (Radius  , Richtung  , wie in links stehender Abbildung) verwendet.

Ein Objektpunkt   wird auf den Bildpunkt   abgebildet.

Für die Winkel   und   wird die gleiche Bezugsrichtung angenommen. Somit gilt:

 

Der Abstand   (radiale Polarkoordinate) wird aus Dreiecksbetrachtungen (siehe rechts stehende Abbildung) ersichtlich:

 

Während die Länge des Bogens auf der Kugel vom Berührungspunkt zum Breitenkreis linear zunimmt, vergrößert sich   in der Ebene progressiv bis zum Wert Unendlich (bis zum Projektionszentrum). Diese sogenannte Längenverzerrung   ist der Differentialquotient der auf   normierten Funktion   nach  :

 

Wegen des stark progressiven Wachsens der Verzerrung (unendlich groß bei  ) bleiben die stereografischen Abbildungen in der Praxis auf   beschränkt.

     
0 0 1
0 05,003° 1,002
10° 10,025° 1,008
15° 15,086° 1,017
20° 20,206° 1,031
25° 25,404° 1,049
30° 30,705° 1,072
35° 36,131° 1,099
40° 41,708° 1,132
     
45° 47,47° 1,17
50° 53,43° 1,22
55° 59,65° 1,27
60° 66,16° 1,33
65° 73,00° 1,41
70° 80,24° 1,49
75° 87,93° 1,59
80° 96,15° 1,7
85° 105,0° 1,84
     
90° 114,6° 2
100° 136,6° 2,4
110° 163,7° 3,0
120° 198,5° 4
130° 245,7° 5,6
140° 314,8° 8,5
150° 427,7° 14,9
160° 649,9° 33,2
170° 1310,° 131,

Geographische Koordinaten der ErdeBearbeiten

Will man die nördliche Halbkugel stereografisch abbilden, so ergeben sich die Zuordnungen:

  • Das Projektionszentrum fällt mit dem Südpol zusammen, der Berührungspunkt mit dem Nordpol.
  •  
  •  

Auf diese Weise erscheinen die Breitengrade in der Projektionsebene als konzentrische Kreise um den Berührungspunkt (= Nordpol) und die Längengrade als Ursprungshalbgeraden.

Für die südliche Halbkugel gilt:

  • Das Projektionszentrum fällt mit dem Nordpol zusammen, der Berührungspunkt mit dem Südpol.
  •  
  •  

Geometrie ebener KurvenBearbeiten

Gegeben sei eine beliebige Kurve   in der Ebene in expliziter Polarkoordinatendarstellung. Nun lege man die Projektionskugel mit Radius   auf den Koordinatenursprung, den Tangentialpunkt TP. Durch das Projektionszentrum – den auf der Kugeloberfläche gegenüberliegenden Punkt PZ – legt man nun eine zweite Ebene, die parallel zur ursprünglichen Ebene liegt (also durch Parallelverschiebung der ersten Ebene senkrecht zu selbiger um   entsteht). Nun werde mittels stereografischer Projektion in PZ die gegebene Kurve in der ersten Ebene auf die Sphäre projiziert. Indem der ursprüngliche Punkt TP als neues Projektionszentrum genutzt wird, wird durch eine weitere stereografische Projektion die Kurve auf der Sphäre auf die zweite Ebene projiziert – sie sei dort in Polarkoordinaten durch   beschrieben. Dann gilt  . Die gegebene Kurve ist also durch diese doppelte stereografische Projektion am Kreis mit Radius   in der (parallelen) Bildebene invertiert worden.

KreistreueBearbeiten

 
Nachweis der Kreistreue

Die Strahlen aus dem Projektionszentrum PZ (Abb.) an den Urkreis K (Durchmesserpunkte 1 und 2) bilden einen schiefen Kreiskegel, dessen zu K paralleler Schnitt K’ kreisförmig ist. Die Projektionsebene K’’ schneidet die Kegelachse gleich schräg wie der Schnitt K’, weshalb die in ihr liegende Schnittfigur ebenfalls ein Kreis (Punkte 1’’ und 2’’) ist.
Wichtig: Die Kreistreue gilt generell nur für die Kreislinie. Der Mittelpunkt des Objektkreises wird z. B. nicht als Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet. Hiervon sind nur die Fälle, bei denen der Kreiskegel gerade ist, ausgenommen.

Weitere Besonderheiten der stereografischen Projektion sind:

  • Das Bild des Projektionszentrums liegt im Unendlichen.
  • Alle Kreise auf der Kugeloberfläche werden als Kreise abgebildet (Kreistreue).
    • Kreise durch das Projektionszentrum werden als Geraden dargestellt.

Kugelspiegelung (Inversion)Bearbeiten

Eine stereografische Projektion lässt sich auch als Spiegelung an einer Kugel (Inversion) interpretieren. Aus den Eigenschaften einer Inversion folgen dann sofort die Kreistreue und Winkeltreue.

Verallgemeinerung auf ℝnBearbeiten

Die oben beschriebene Projektion ist der Spezialfall der allgemeinen stereografischen Projektion: Im dreidimensionalen Raum   wird die zweidimensionale Kugeloberfläche   auf die Kartenebene und somit in den zweidimensionalen Raum   abgebildet. Die allgemeine Abbildung sieht wie folgt aus:

 
 

Es ist jedoch auch möglich, das Urbild dieser Funktion so zu wählen, dass sein Äquator die Projektions-Hyperebene schneidet:

 
Bei dieser Variante der stereografischen Projektion liegt die Kugel nicht auf der (Hyper-) Ebene, sondern schneidet sie.
 
 

Diese Abbildung ist für den Punkt  , den sogenannten Nordpol, natürlich nicht definiert. Betrachtet man die Abbildung  , deren Funktionsterm   statt   im Nenner hat, dann wird die Sphäre bis auf den Südpol abgebildet.

Ändert man das Urbild der stereografischen Projektion auf diese Weise, so erhält man durch die beiden Abbildungen   und   einen Atlas der n-Sphäre.

HerleitungBearbeiten

Exemplarisch wird hier die stereografische Projektion durch den Nordpol hergeleitet. Für die Projektion durch den Südpol kann die gleiche Herleitung verwendet werden. Die stereografische Projektion durch den Nordpol soll einen Punkt   der Sphäre auf seinen Bildpunkt   in der Hyperebene   so abbilden, dass der Bildpunkt   auf der Geraden durch den Nordpol und   liegt.

Diese Gerade kann durch

 

parametrisiert werden. Diese Gerade schneidet die Ebene  , wobei gilt:

 

Daraus folgt, dass die Koordinaten des Schnittpunktes von   und   durch

 

gegeben sind. Betrachtet man nun die Ebene   als  , so erhält man die stereografische Projektion durch den Nordpol.

UmkehrfunktionenBearbeiten

Zu den stereografischen Projektionen durch Nord- bzw. Südpol existieren die durch

 
 

beschriebenen stetigen Umkehrfunktionen. Daher sind   und   Homöomorphismen. Man hat mit der Projektion aus dem Nordpol und der aus dem Südpol einen möglichen Atlas gefunden. Damit ist gezeigt, dass die  -Sphäre eine  -dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.

KreistreueBearbeiten

Sei   eine Hyperebene in  . Ist   und  , so folgt aus der Ebenengleichung von   sowie der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

 

Das Bild der Punkte der Ebene durch   erfüllt die Gleichung:[6]

 

Dies ist eine Sphärengleichung. Daher bildet   alle Schnitte von   und einer beliebigen Hyperebene, also insbes. Sphären, die in dieser Hyperebene liegen, auf Sphären in   ab.

Kompaktifizierung der komplexen ZahlenebeneBearbeiten

Die stereografische Projektion kann unter anderem zur Kompaktifizierung der komplexen Zahlenebene   herangezogen werden. Man erweitert   um einen zusätzlichen Punkt, der hier mit   bezeichnet wird. Die Menge   heißt Einpunktkompaktifizierung von   oder Riemannsche Zahlenkugel.

Die Abbildung   wird mittels der Abbildung

 

fortgesetzt. Man nennt nun   offen genau dann, wenn   offen in   ist. Dadurch wird auf   eine Topologie induziert.

Chordale MetrikBearbeiten

Dieselbe Topologie wird durch die durch

 

definierte chordale Metrik   induziert.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Quellen für die mathematischen Erläuterungen:

Allgemeine Beschreibung n-dim. Sphäre: Abschnitt 1.3.II, Konformität: Abschnitt 3.1.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Band 1. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0.
Projektive Darstellung: Abschnitt V.H Bsp. 4.
  • Günther Bollman, Günther Koch (Hrsg.): Lexikon der Kartographie und Geomatik. Band 1: A bis Karti. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2001, ISBN 3-8274-1055-X.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Mathematik.de: Kreisverwandte Abbildungen.
  2. Gerhard Heide: Grundlage der Kristallographie. Ab S. 36.
  3. Elena Perk: Stereographische Projektion. (Memento des Originals vom 11. Januar 2016 im Internet Archive)   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/analysis.math.uni-mannheim.de S. 2.
  4. Karlhorst Meyer: Stereographische Projektion. S. 12.
  5. Ein prinzipieller Unterschied ist die Spiegelverkehrtheit des Himmelsbildes auf dem Astrolabium, denn die antiken Astronomen bevorzugten die Sicht von außen auf die Himmelskugel.
  6. Hierbei darf man durch   teilen. Denn wenn dies gleich 0 wäre, läge der Nordpol in der Ebene.