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Eine geometrische oder mathematische Abbildung heißt kreistreu oder kreisverwandt, wenn das Bild eines beliebigen Kreises stets wiederum ein Kreis ist. Diese besondere Eigenschaft besitzen die Ähnlichkeitsabbildungen, die stereographische Projektion und die Möbiustransformationen. Die stereographische Projektion war schon im Altertum bekannt und wurde zum Bau von Astrolabien genutzt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Abbildung von einer Fläche auf eine andere ist kreistreu, wenn Kreise auf Kreise abgebildet werden. Geraden in einer Ebene gelten dabei als Kreise durch einen unendlich fernen Punkt, der zu dieser Ebene hinzugezählt wird. Die Kreistreue bezieht sich nur auf die Kreislinie. Der Bildpunkt des Mittelpunktes des Urkreises ist im Allgemeinen nicht mit dem Mittelpunkt des Bildkreises identisch.

Triviale Beispiele für kreistreue Abbildungen sind Ähnlichkeitsabbildung wie Parallelverschiebungen, Drehungen, Achsen- und Punktspiegelungen oder zentrische Streckungen. Weitere kreistreue Abbildungen sind die stereographische Projektion und Möbiustransformationen.

Stereographische ProjektionBearbeiten

Die stereographischen Projektion bildet eine Kugeloberfläche mit Hilfe einer Zentralprojektion auf eine Ebene ab, wobei das Projektionszentrum auf der Kugeloberfläche liegt. Das Bild des Projektionszentrums ist ein unendlich ferner Punkt, der der Ebene hinzugefügt wird. Die Ebene kann als Komplexe Zahlenebene aufgefasst werden, die um den unendlich fernen Punkt erweitert wird, und die Kugel als riemannsche Zahlenkugel. Die stereographischen Projektion bildet beide Flächen bijektiv aufeinander ab.

Das Prinzip der stereographischen Projektion war bereits in der Antike bekannt. Ihre Eigenschaft als kreistreue Abbildung der Himmelskugel auf eine Ebene soll um 130 v. Chr. von Hipparchos zum Bau eines Astrolabiums genutzt worden sein. Im 2. Jahrhundert n. Chr. wurde diese Abbildung von Ptolemäus ausführlich beschrieben und die Kreistreue geometrisch bewiesen. Wegen der Kreistreue werden kreisförmige Bahnen der Himmelskörper auch in ebenen Karten kreisförmig dargestellt. Diese Eigenschaft ermöglichte die einfache Konstruktion von Sternkarten, Navigationskarten oder von Zifferblättern astronomischer Uhren. Die kreisförmigen Sternbahnen am Himmel ließen sich mit Zirkeln auf ebene Scheiben zeichnen. Zur kartographischen Projektion der Erdoberfläche auf eine Karte wurde das Prinzip erstmals um 1500 angewandt und besonders von dem Nürnberger Astronom und Mathematiker Johannes Werner gefördert.[1]

 
Veranschaulichung der Kreistreue der stereographischen Projektion

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch eine Kugel. Dieser Schnitt enthält das Projektionszentrum   der stereographischen Projektion, den Berührpunkt   der Bildebene und Mittelpunkt   eines abzubildenden Kreises. Die Punkte   und   sind die beiden Punkte des Urkreises auf dem dargestellten Meridian,   und   deren Bildpunkte. Die Winkel im Kugelmittelpunkt   sind nach dem Kreiswinkelsatz doppelt so groß wie die zugehörigen Winkel in  . Die Winkel   und   sind gleich groß, da ihre Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen. Aus der Betrachtung der Winkelsumme in den Dreiecken  ,   und   folgt schließlich, dass die rot dargestellten Winkel gleich groß sind. Die Projektionsstrahlen von   durch den Urbildkreis bilden einen Ellipsenkegel. Der Urbildkreis durch   und   sowie sein Bild durch   und   schneiden den Kegel im gleichen Winkel. Daher muss auch das Bild des Urkreises ein Kreis sein.

MöbiustransformationBearbeiten

Möbiustransformationen bilden die komplexen Zahlen, erweitert um den unendlich fernen Punkt, auf sich selbst ab. Ihre allgemeine Formel ist gegeben durch

 ,

wobei   komplexe Zahlen sind, die   erfüllen. Durch diese Bedingung wird sichergestellt, dass   nicht auf einen festen Bildpunkt abgebildet wird und die Abbildung bijektiv ist.

Benannt sind sie nach August Ferdinand Möbius, der sie 1855 in seiner Arbeit Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung untersuchte und ihre Gruppeneigenschaft beschrieb.

Jede Möbiustransformation kann durch Verkettung der drei Elementartypen

  • Translation ( ),
  • Drehstreckung ( ) und
  • Inversion ( )

beschrieben werden. Die ersten beiden Abbildungen sind Ähnlichkeitsabbildungen und deshalb offensichtlich kreistreu. Da auch die Inversion kreistreu ist (s. nächster Abschnitt), sind Verkettungen dieser Abbildungen und damit jede Möbiustransformation kreistreu.[2] Auch bei der Kombination mit einer stereographischen Projektion auf eine Kugel, Drehung der Kugel, Änderung des Projektionszentrums und Zurückprojektion auf die Ebene bleibt die Abbildung kreistreu.

Die kreistreuen und orientierungserhaltenden Abbildungen der komplexen Zahlenebene (einschließlich des unendlichen fernen Punkts) auf sich selbst sind genau die Möbiustransformationen. Sie sind außerdem winkeltreu (konform).[3] Von allen konformen Abbildungen bilden nur sie diese Zahlenebene bijektiv auf sich selbst ab. Deshalb können konforme Abbildungen mit Hilfe der komplexen Zahlen sehr effektiv behandelt werden.

Andere kreistreue AbbildungenBearbeiten

Weitere kreistreue Abbildungen sind die Achsenspiegelung und die Kreisspiegelung. Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung, bei der Kreisspiegelung liegen Urbildpunkt und Bildpunkt auf einer Halbgeraden durch den Kreismittelpunkt. Beide Abbildungen sind winkeltreu, jedoch wird die Orientierung der Winkel – anders als bei den orientierungserhaltenden Möbiustransformationen – umgekehrt.

Diese Abbildungen und ihre Verkettung mit orientierungserhaltenden Möbiustransformationen können mit Hilfe der konjugiert komplexen Zahl   beschrieben werden durch:[3]

 .

Eine Inversion   setzt sich aus einer Achsen- und einer Kreisspiegelung zusammen, so dass bei ihr die Orientierung erhalten bleibt.

Tissotsche IndikatrixBearbeiten

Bei Kartennetzentwürfen wird die lokale Verzerrung durch eine Tissotsche Indikatrix veranschaulicht, die das Bild eines Kreises als Verzerrungsellipse darstellt. Dadurch werden richtungsabhängige Streckenverzerrung im betrachteten Punkt ersichtlich. Bei konformen Abbildungen sind alle Verzerrungsellipsen Kreise. Diese „Kreistreue“ gilt aber im Allgemeinen nur lokal und nicht für Kreise beliebiger Größe.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eberhard Schröder: Kartenentwürfe der Erde. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 1988, S. 32f.
  2. Klaus Fritzsche: Möbius-Transformationen. (PDF) Abgerufen am 19. März 2016 (Teil eines Vorlesungsskripts).
  3. a b Günter M. Ziegler: Geometrie. (PDF) 6. Juli 2012, S. 67-72, abgerufen am 19. März 2016 (vorläufiges Vorlesungsskript).

WeblinksBearbeiten