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Konforme Abbildung

winkeltreue Transformation
Abb. 1: Ein rechtwinkliges Netz (oben) und sein Bild (unten) nach einer konformen Abbildung . Linienpaare, die sich unter 90° schneiden, werden abgebildet auf Linienpaare, die sich auch unter 90° schneiden.

Eine konforme Abbildung ist eine winkeltreue Abbildung.

Das bedeutet u. a., dass aus einem rechtwinkligen Koordinatennetz durch eine konforme Abbildung zwar ein i. Allg. krummliniges Koordinatennetz entsteht, dass aber „im Kleinen“ die rechtwinklige Netzstruktur vollständig erhalten bleibt, also insbesondere die Zwischenwinkel und die Längenverhältnisse je zweier beliebiger Vektoren.

Solche Abbildungen finden vielfache Anwendungen in der theoretischen Physik, u. a. in der Theorie komplizierter elektrostatischer Potentiale und der zugehörigen elektrostatischen Felder sowie in der Strömungsmechanik.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine lineare Abbildung   heißt konform, wenn   für alle   gilt und ihre Determinante positiv ist (ist sie negativ, so heißt sie anti-konform). Hierbei ist   das Standardskalarprodukt und   die euklidische Norm. Mit anderen Worten erhalten (lineare) konforme oder anti-konforme Abbildungen den Betrag des Winkels zwischen zwei beliebigen Vektoren; während eine konforme die Orientierung des Winkels erhält, kehrt sie eine anti-konforme um.

Des Weiteren heißt eine differenzierbare Abbildung   konform in  , wenn ihr Differential in   konform ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Falls   eine offene Teilmenge der komplexen Ebene   ist, dann ist die Funktion   konform genau dann, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und ihre Ableitung ungleich null auf ganz   ist. Die konformen Abbildungen bilden also die geometrische Veranschaulichung der komplex differenzierbaren (analytischen oder holomorphen) Funktionen einer komplexen Variablen (vgl. die Veranschaulichung reeller Funktionen durch ebene Kurven). Real- bzw. Imaginärteil einer solchen Funktion bzw. ihrer lokal rechtwinkligen Koordinatennetze können z. B. als Potentiale eines elektrostatischen Feldes oder eines Strömungsfeldes interpretiert werden.[1] Auch meromorphe Funktionen sind nützlich, weil deren Polstellen die Dipole, Quadrupole usw., allgemein: die Multipole dieser Potentiale erzeugen.

Physikalische AnwendungenBearbeiten

 
Abb. 2: Tragflügel und Kreis hängen durch eine konforme Abbildung zusammen.

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt an einem Beispiel aus dem „Flugzeugbau“, dass durch die konforme Abbildung komplizierte Kurven auf wesentlich einfachere Art abgebildet werden können. Das abgebildete Beispiel einer konformen Abbildung ist die Joukowski-Funktion (auch „Schukowski-Funktion“ geschrieben). Bei dieser Abbildung wird das Joukowski-Profil auf einen Kreis abgebildet. Die Geschwindigkeit, mit der etwa Luftteilchen das (zweidimensionale) Tragflügel-Profil umströmen, wird einfacher berechenbar, wenn es um die Umströmung eines Kreiszylinders geht. Damit wird plausibel, dass die konformen Abbildungen in folgenden Gebieten eine wichtige Bedeutung haben, solange man Phänomene in der zweidimensionalen Ebene untersucht:

Invarianz unter konformen AbbildungenBearbeiten

Im Falle des  -dimensionalen Minkowski-Raumes gilt: Die Zusammenhangskomponente der 1 von der Gruppe der orientierungstreuen konformen Transformationen ist isomorph zur Gruppe  , wenn   gilt. Für   ist diese Gruppe unendlichdimensional. Sie ist isomorph zu  , wobei   die unendlichdimensionale Gruppe der orientierungstreuen Diffeomorphismen von   auf sich bezeichnet.

Im Falle des  -dimensionalen euklidischen Raumes ist die entsprechende Gruppe isomorph zu  ,  . Im Falle   ist sie daher auch isomorph zur Gruppe der Möbiustransformationen.

Physikalische Systeme, die unveränderlich unter konformen Abbildungen sind, haben eine große Bedeutung in der Festkörperphysik, in der Stringtheorie und in der konformen Feldtheorie.

Konforme Abbildungen auf (semi-) riemannschen MannigfaltigkeitenBearbeiten

Seien   und   zwei riemannsche Mannigfaltigkeiten bzw. semi-riemannsche Mannigfaltigkeiten.   und   bezeichnen die metrischen Tensoren. Zwei Metriken   und   auf einer Mannigfaltigkeit   heißen in der riemannschen Geometrie „konform äquivalent“, falls   mit einer auf   definierten positiven Funktion  , die konformer Faktor genannt wird. Die Klasse konform äquivalenter Metriken auf   heißt konforme Struktur.

Ein Diffeomorphismus   heißt konform, falls   für alle Punkte   und Vektoren   des Tangentialraumes gilt. Man drückt das auch so aus, dass die Pullback-Metrik auf   konform äquivalent zur Metrik von   ist. Die Potenz   soll andeuten, dass der Faktor stets größer als 0 ist, dass es sich also um einen konformen Faktor handelt. Ein Beispiel einer konformen Abbildung ist die stereographische Projektion der Kugeloberfläche auf die projektive Ebene (Ebene ergänzt durch einen Punkt im Unendlichen).

Die konformen Abbildungen einer Mannigfaltigkeit in sich selbst werden von konformen Killing-Vektorfeldern erzeugt.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. Friedrich Hund: Theoretische Physik. 3 Bände, Stuttgart Teubner, zuerst 1956–1957, Band 2: Theorie der Elektrizität und des Lichts, Relativitätstheorie. 4. Auflage, 1963.