Alexandroff-Kompaktifizierung

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines nicht kompakten topologischen Raumes in einen kompakten topologischen Raum durch Hinzunahme eines einzelnen Punktes. Diese Kompaktifizierung ist nach dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff benannt. Er und Heinrich Tietze erkannten 1924 unabhängig voneinander, dass sich die aus der Funktionentheorie stammende Konstruktion der riemannschen Zahlenkugel zu dieser Kompaktifizierung verallgemeinern lässt.[1][2] Sie ist für lokalkompakte Hausdorff-Räume bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum und   ein Element, das nicht aus   stammt. Zudem sei die Menge   mit der Topologie

 

ausgestattet. Dann ist   ein kompakter Raum, der   als offenen Teilraum enthält. Die Kompaktifizierung ist durch die kanonische Injektion

 

gegeben.[3] Oft nennt man anstelle von   auch den Raum   die Alexandroff-Kompaktifizierung von  , vorausgesetzt es handelt sich bei   um eine dichte Teilmenge von  .

Der Punkt   wird zuweilen auch als unendlich fern[4] bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

Obige Konstruktion existiert für beliebige topologische Räume  . Sie liefert jedoch nur für Räume, die selbst noch nicht kompakt sind, tatsächlich eine Kompaktifizierung: Ist   der nach der vorangehenden Definition gebildete topologische Raum, so ist die Einpunktmenge   offen, falls man   als kompakt voraussetzt. In diesem Fall liegt   nicht dicht in   und die Injektion   liefert folglich keine Kompaktifizierung.

Es ist von Vorteil, wenn eine Kompaktifizierung die Trennungseigenschaften eines topologischen Raumes erhält. So erhält die Alexandroff-Kompaktifizierung z. B. das T1-Axiom.[5] Die Hausdorff-Eigenschaft wird jedoch nur erhalten, wenn zusätzlich   als lokalkompakt vorausgesetzt ist. Dann ist aber die Alexandroff-Kompaktifizierung im folgenden Sinne eindeutig bestimmt:

Seien   und   kompakte Hausdorff-Räume und zudem   ein (lokalkompakter) Teilraum derselben, wobei   und   gelte, so sind   und   homöomorph.

BeispieleBearbeiten

  • Die projektive Erweiterung der reellen Zahlen   ist, zusammen mit der entsprechend erweiterten Topologie, eine Alexandroff-Kompaktifizierung des lokalkompakten Raumes der reellen Zahlen mit euklidischer Topologie  . Sie ist homöomorph zur Kreislinie  .
  • Die riemannsche Zahlenkugel   ist, ähnlich zum vorangehenden Beispiel, eine Alexandroff-Kompaktifizierung, durch welche man eine Homöomorphie zur Sphäre   erhält.[6]
  • Allgemeiner ist für ein   die Alexandroff-Kompaktifizierung von   mit euklidischer Topologie homöomorph zur Einheitssphäre  .[7]
  • Ist   ein nicht kompakter aber lokalkompakter Hausdorff-Raum, so ist die Banachalgebra der stetigen Funktionen auf seiner Alexandroff-Kompaktifizierung   isomorph zur Algebra   der stetigen Funktionen auf  , die im Unendlichen verschwinden, nach Adjunktion eines Einselementes.[8]

Mehrpunkt-KompaktifizierungenBearbeiten

Bettet man einen topologischen Raum in einen kompakten Raum ein, der endlich viele Punkte mehr enthält, so spricht man von einer Mehrpunkt-Kompaktifizierung oder im Falle von   zusätzlichen Punkten auch von einer  -Punkt-Kompaktifizierung.[9] Diese Idee lässt sich weiter zu abzählbaren Kompaktifizierungen verallgemeinern.[10]

DefinitionBearbeiten

Sei   und   ein topologischer Raum und   ein kompakter Raum. Eine Kompaktifizierung

 

heißt  -Punkt-Kompaktifizierung von  , falls

 

gilt.

EigenschaftenBearbeiten

Für topologische Räume   sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:[9]

  • Der Raum   besitzt eine  -Punkt-Kompaktifizierung   mit Hausdorff-Eigenschaft.
  • Der Raum   ist ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und es existieren eine  -elementige Familie   nichtleerer paarweise disjunkte Teilmengen  , sodass einerseits
 
kompakt ist und andererseits für jedes   die Menge
 
nicht mehr kompakt ist.

Falls   eine  -Punkt-Kompaktifizierung besitzt, so besitzt   insbesondere auch eine  -Punkt-Kompaktifizierung für alle  .

Eine  -elementige Familie   im Sinne obiger Charakterisierung nennt man auch einen  -Stern. Jeder  -Stern gibt Anlass zu einer  -Punkt-Kompaktifizierung. Auf der Menge aller  -Sterne lässt sich wie folgt eine Äquivalenzrelation definieren:

Zwei  -Sterne   und   heißen äquivalent, falls
 
kompakt ist, für alle  .

Es existiert eine 1-zu-1 Beziehung zwischen Äquivalenzklassen von  -Sternen und  -Punkt-Kompaktifizierungen.

BeispieleBearbeiten

  • Die affine Erweiterung der reellen Zahlen   ist gerade die Zwei-Punkt-Kompaktifizierung von  .[11] Die reellen Zahlen besitzen nur  -Punkt-Kompaktifizierungen für  .[9]
  • Die komplexen Zahlen und allgemeiner der euklidische   mit   besitzen keine  -Punkt-Kompaktifizierung für  .
  • Für jede natürliche Zahl   existiert ein topologischer Raum, welcher eine  -Punkt-Kompaktifizierung aber keine  -Punkt-Kompaktifizierung für   besitzt:
Man betrachte dazu die Strahlen
 ,
und deren Vereinigung
 
als topologischen Raum mit Teilraumtopologie. Für   gilt dann
 
und   ist für kein   kompakt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  • Karsten Evers: Mengentheoretische Topologie. S. 83, abgerufen am 26. Dezember 2016 (Enthält unter anderem einen Satz über die Existenz von T2-Mehrpunktkompaktifizierungen).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Paul Alexandroff: Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 92, Nr. 3-4, 1924, S. 294–301, doi:10.1007/BF01448011.
  2. Heinrich Tietze: Beiträge zur allgemeinen Topologie. II. Über die Einführung uneigentlicher Elemente. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 91, Nr. 3-4, 1924, S. 210–224, doi:10.1007/BF01556079.
  3. René Bartsch: Allgemeine Topologie. de Gruyter, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 183 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 110 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Lynn Arthur Steen: Counterexamples in Topology. Courier Corporation, 1995, S. 63, ISBN 978-0-486-68735-3.
  6. James R. Munkres: Topology. Prentice Hall, 2000, S. 185, ISBN 978-0-131-78449-9.
  7. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-84064-6, S. 108 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  8. Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer Science & Business Media, 2008, ISBN 978-0-387-72476-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  9. a b c K. D. Magill, Jr.: N-Point Compactifications. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): The American Mathematical Monthly. Vol. 72, Nr. 10, 1965, S. 1075–1081, doi:10.2307/2315952.
  10. K. D. Magill, Jr.: Countable Compactifications. In: Canadian Mathematical Society (Hrsg.): Canadian Journal of Mathematics. Vol. 18, 1966, S. 616–620, doi:10.4153/CJM-1966-060-6.
  11. K. G. Binmore: The Foundations of Topological Analysis: A Straightforward Introduction. Cambridge University Press, 1980, ISBN 978-0-521-29930-5, S. 154 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).