Kugelsegment

Begriff aus der Mathematik
(Weitergeleitet von Kugelkalotte)

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil eines Kugelkörpers, der durch den Schnitt mit einer Ebene gebildet wird. Ein Kugelsegment hat die Form einer Kuppel und besitzt als Grundfläche eine Kreisscheibe. Eine Halbkugel ist ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.[1]

Interaktives 3D-Modell: Nach Anclicken kann das Bild mit der Maus manipuliert werden

FormelnBearbeiten

 
Der blaue Körper ist ein Kugelsegment; der rosa Restkörper ebenfalls.

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Kugelsegments gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet   den Radius der Kugel,   den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und   die Höhe des Kugelsegments.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus zwei der drei Größen lässt sich die dritte berechnen. In allen Formeln ist − bei ± zu nehmen, wenn das Kugelsegment weniger als die halbe Kugel groß ist, sonst + bei ±.

 
 
 
 

Statt   und   reicht auch die Angabe des Winkels   des Basiskreises (siehe Abbildung). Es gilt:

 
 

Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche der Größen gegeben sind.

Größen eines Kugelsegments mit dem Radius r der Kugel,
dem Radius a des Basiskreises und der Höhe h
Volumen  
 
 
 
Flächeninhalt der
Kugeloberfläche
 
 
 
 
 
Flächeninhalt der
Mantelfläche
 
 
 
 

SonderfälleBearbeiten

Für   ist   und das Kugelsegment eine Halbkugel:  

Für   ist   und das Kugelsegment ist eine ganze Kugel:  

HerleitungBearbeiten

 
Kugelkappe: Funktion für das Volumenintegral

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:  . Auflösen der Klammer liefert:

 .

Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für Rotationskörper für den Kreisbogen  :

 .

Entsprechend ergibt sich die Mantelfläche eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für Rotationsflächen

  .

Und mit Basiskreis:  .

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Spherical caps – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie (2009)

LiteraturBearbeiten

  • Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.