Hauptmenü öffnen

Bezeichner und SchreibweisenBearbeiten

In den allermeisten Fällen gilt:

  1. Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben   beschriftet.
  2. Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben   beschriftet.
  3. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben   beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

Geometrie in der EbeneBearbeiten

GrundlagenBearbeiten

WinkelBearbeiten

Nebenwinkel

Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°.
 
 

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
 
 

Stufenwinkel

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

 

Wechselwinkel

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

 

Außenwinkel

Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

 

Winkelsummen

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180°
Die Summe der Innenwinkel in einem  -Eck ist immer  
Die Summe der Außenwinkel beträgt in einem konvexen  -Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl  )

Teilung einer StreckeBearbeiten

Verhältnisteilung: Um eine Strecke   in einem bestimmten Verhältnis (in   gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von   aus, der nicht parallel zu   ist. Auf diesem trage man   mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt   verbinde man mit   und zeichne die Parallelen zu   durch die bei der Unterteilung von   entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit   teilen   in   gleiche Teile.

Flächen und UmfängeBearbeiten

 
Ein Dreieck mit Standardbezeichnung

Die Standardbezeichnung für Dreiecke:

Eckpunkte
  und  . Die Ecke   ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des rechten Winkels.
Seiten
  ist die der Ecke   gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für   und  . Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit   bezeichnet.
Winkel
  ist der (Innen-)Winkel in Ecke  ,   der Winkel in Ecke   und   der Winkel in Ecke  .
Figur Flächeninhalt A Umfang U Bemerkung, Weiteres
Dreieck
Allgemeines Dreieck  

 

 
  Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet.
  ist der halbe Umfang,   der Umkreisradius und   der Inkreisradius.
Gleichseitiges Dreieck     Alle Seiten sind gleich lang.
Alle Winkel sind gleich groß (60°).
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale
Gleichschenkliges Dreieck     Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel   und  ); die dritte Seite heißt Basis  
Die beiden Basiswinkel (  und  ) sind gleich groß.
Die Höhenlinie durch   halbiert den Winkel  
und die Basis  .
Rechtwinkliges Dreieck      .
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel.
Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden.
Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s. u.)
Viereck
Quadrat     Diagonale  
Rechteck     Diagonale  
Raute (Rhombus)       = Diagonalen,   = beliebiger Innenwinkel.
Parallelogramm       ist die Höhe zur Seite  .
Trapez       = parallele Seiten,   = Mittellinie
symmetrischer Drachen (Deltoid)       = Diagonalen.
Sehnenviereck  

 
  Viereck mit Umkreis,   Umkreisradius  ,
  halber Umfang;   Diagonalen:  ,
 
Tangentenviereck     Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius  .
Es gilt  
Polygone
Regelmäßiges Polygon  

 

 
 

 

 
  •   – Anzahl der Ecken
  •   – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke
  •   – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
  •   – Kantenlänge einer Seite des Polygons
Kreis
Kreis
 
    Es bezeichnet   die Kreiszahl.
Kreisring       = Außenradius,   = Innenradius
Kreisausschnitt
 
 
 
  b =   (Winkel im Bogenmaß)
Kreisabschnitt (Segment)
 
      (Winkel im Bogenmaß)
Kegelschnitte
Ellipse  

 
  Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant ( ) ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten:  
Hyperbel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten:  
Parabel Keine geschlossene Fläche Keine geschlossene Kurve Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten:  .

DreiecksgeometrieBearbeiten

Ausgezeichnete PunkteBearbeiten

 
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Seitenhalbierende (Schwerlinien)
    • teilen einander im Verhältnis 2:1.
    • schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
    • teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.
 
Winkelhalbierende und Inkreis
 
Höhen

Satzgruppe des PythagorasBearbeiten

  • Satz des Pythagoras
    Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten.
    Sind   und   die Längen der Katheten und   die Länge der Hypotenuse, dann gilt:
     
  • Kathetensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse.
    Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:
     
  • Höhensatz
    Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
    Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:
     
     

DreiecksungleichungBearbeiten

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

Kongruenz- und ÄhnlichkeitssätzeBearbeiten

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

  1. drei Seiten (sss)
  2. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
  3. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
  4. einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

  1. drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
  2. zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
  3. zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
  4. zwei Winkel übereinstimmen

StrahlensätzeBearbeiten

  1. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
  2. Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl.

Geometrie der KörperBearbeiten

Körper Volumen V Oberfläche O Bemerkungen, Weiteres
Prismen
Parallelepiped (Spat)
 
   
Quader
 
    Raumdiagonalenlänge  
Allgemeines
Prisma
      Mantelfläche
Säulen
Rundsäule (Zylinder)    
Hohlzylinder  

 
    Außen-,Innenradius
 
 
Pyramide
Allgemeine
Pyramide
   
Pyramidenstumpf       Grundfläche
  Deckfläche
Kegel
Kreiskegel   nur für senkrechte Kegel:
 
Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe:
 
gerader Kegelstumpf    

 
 
  Radien
Platonische Körper
Tetraeder    
Hexaeder (Würfel)     Raumdiagonalenlänge  
Oktaeder    
Dodekaeder    
Ikosaeder    
Kugel und Kugelteile
Kugel    
Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe)  
Kugelsegment (Kugelabschnitt)     mit  
Kugelzone
(Kugelschicht)
    mit   = Durchmesser des unteren Schnittkreises und   = Durchmesser des oberen Schnittkreises
Drehkörper
Ellipsoid   Halbachsen a,b,c
Torus    

siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri

TrigonometrieBearbeiten

Analytische GeometrieBearbeiten