Eulerscher Polyedersatz

mathematischer Satz

Der Eulersche Polyedersatz (auch: die Eulersche Polyederformel), benannt nach Leonhard Euler, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von beschränkten, zur Sphäre homöomorphen Polyedern[1] bzw. allgemeiner: von zusammenhängenden kreuzungsfreien planaren Graphen.

Grünes Häkchensymbol für ja Der uns vertraute Würfel mit 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen erfüllt mit den Eulerschen Polyedersatz

Hinter der Formel steckt das topologische Konzept der Euler-Poincaré-Charakteristik . Die Eulersche Polyederformel ist der Spezialfall für (drei Dimensionen) unter stillschweigender Vernachlässigung von (wir betrachten immer einen Körper) und ergibt dann ein :

 ( nach Eulerschem Polyedersatz)
 ( nach Euler-Poincaré-Charakteristik)

mit Anzahl der Ecken, Anzahl der Kanten, Anzahl der Flächen und Anzahl der Zellen.

Sie gilt (da so definiert) allgemein für Polyeder der Charakteristik (bzw. ), zu denen ausnahmslos alle konvexen und viele „gutmütige“ konkave Polyeder gehören, siehe dazu Abschnitt Gültigkeit.[2]

AllgemeinBearbeiten

 
Die Begriffe Ecke, Kante und Fläche am Beispiel eines Würfels

Der Satz besagt:

Seien   die Anzahl der Ecken,   die Anzahl der Kanten und   die Anzahl der Flächen eines beschränkten konvexen Polyeders, dann gilt:
 

Oder in Worten:

Anzahl der Ecken minus Anzahl der Kanten plus Anzahl der Flächen gleich zwei.

Er wurde 1750 von Euler aufgeschrieben und 1758 in Latein als „Elementa doctrine solidorum“ veröffentlicht. Im Euler-Archiv[3] ist die Publikation unter dem Eneström-Index E 320, der unvollständige Beweis unter E 321 zu finden.

Fünfseitigen Doppelpyramide
Sphäre, homöomorph zerlegt

In Bezugnahme auf das topologische Problem (es sind keine Polyeder notwendig) und der Darstellung als planarer Graph kann der Satz auch als

Sei die Kugeloberfläche durch ein Kurvennetz derart zerlegt, dass durch kreuzungsfreies(!) Verbinden von   Eckpunkten   Kurvenstücke und   Flächenstücke entstehen, dann gilt:
 

geschrieben werden.

In der folgenden Tabelle wird die Gültigkeit für einige Polyeder, darunter die fünf platonischen Körper, mit den zugehörigen Werten für  ,   und   gezeigt.

Polyeder E K F E − K + F
Dreieckskuppel 009 015 08 2
Trigondodekaeder 008 018 12 2
Pseudo-Rhombenkuboktaeder 024 048 26 2
Großes Rhombenikosidodekaeder 120 180 62 2
Tetraeder 004 006 04 2
Würfel 008 012 06 2
Oktaeder 006 012 08 2
Dodekaeder 020 030 12 2
Ikosaeder 012 030 20 2

GültigkeitBearbeiten

Der Eulersche Polyedersatz gilt für alle konvexen Polyeder. Die Konvexität ist eine zu starke Bedingung:

  • Das Hineindrücken einer Ecke des Ikosaeders ändert weder Ecken-, Kanten- noch die Flächenzahl, die Konvexität spielt daher keine Rolle.
  • Selbst das Durchstoßen einer Ecke durch eine andere Fläche ändert nichts daran, solange man die nur in der Geometrie entstehenden Schnittpunkte und Schnittlinien ignoriert.
  • Es ist auch kein Polyeder erforderlich, da gekrümmte Flächen und gekrümmte Kanten keinen Einfluss haben, solange die Vernetzung sich nicht ändert.
  • In der Topologie gibt es im Gegensatz zur Geometrie den Begriff der Konvexität nicht. Die Lage spielt keine Rolle, nur deren Verbindungen.

Sie schließt aber zuverlässig alle Fälle aus, die zu einer Verletzung des Eulerschen Polyedersatzes führen.

Zu Abweichungen führt:

  • Fehlende Kreuzungsfreiheit bzw. fehlende eindeutige Orientierung von Flächen.
  • Das Gesamt-Polyeder darf räumlich nicht aus zwei oder mehr separaten Einzel-Polyedern bestehen, die sich nur in einer Ecke oder an einer Kante berühren. Sonst erhöht sich   um  . In der allgemeineren Form als Euler-Poincaré-Charakteristik   stellt dies kein Problem dar, weil sich gleichzeitig die Anzahl der Zellen   auch um   erhöht, somit gilt dann wieder  .
  • Das Netzwerk aus Ecken und Kanten muss topologisch zusammenhängend sein, d. h., es muss ein gemeinsamer Graph entstehen. Weitere Graphen erhöhen   um   oder anders betrachtet:   gilt jeweils für jeden Graphen getrennt.
  • Das Polyeder darf keine „Löcher“ bzw. „Henkel“ enthalten, muss also das topologische Geschlecht   haben. Jedes Loch reduziert   um   (wenn das Polyeder aus orientierbaren Flächen besteht), sonst um  .

Gleichen sich diese Fehler exakt aus, kann wiederum der Eulerschen Polyedersatzes erfüllt werden, wie z. B. ein Würfel mit einem Quader als eingestanztem Loch (16 Ecken, 24 Kanten, 10 Flächen).

 
Graph des Oktaeders

Unterschied zwischen Oktaeder und TetrahemihexaederBearbeiten

Beide haben die gleiche Eckenzahl und Kantenzahl. Allerdings stellt das Flächenmodell des Tetrahemihexaeders keinen kreuzungsfreien planaren Graphen mehr dar.

  • Wir sehen jeweils die 6 Ecken und die 12 Kanten beider Körper.
  • Die Flächen des Oktaeders sind die 4 rötlichen und die 4 bläulichen Flächen (davon ist eine die Außenfläche).
  • Die Flächen des Tetrahemihexaeder sind die 4 rötlichen Flächen (entsprechen den roten Flächen im rotierenden Modell) sowie 3 weitere zusammengesetzte Flächen (entsprechen den gelben Flächen im rotierenden Modell), die keinen einfachen Gebieten des Graphen mehr entsprechen. Dazu nehme man sich jeweils eine der 6 Ecken und folge den vier Kanten dieser Ecke zu den mit dieser Ecke direkt verbundenen Ecken. Dies sind die jeweils 4 Eckpunkte der 3 Quadrate mit jeweils den beiden möglichen Orientierungen (die Flächen haben keine Innen- und keine Außenseite mehr), die die 3 weiteren Flächen bilden.

GeschichteBearbeiten

Euler erwähnte den Satz zuerst in einem Brief an Christian Goldbach 1750 und veröffentlichte 1758 einen Beweis,[4] allerdings enthielt dieser nach den heutigen Maßstäben für die Strenge mathematischer Beweise einen Fehler, worauf Henri Lebesgue 1924 hinwies. Später wurde bekannt, dass der Satz schon René Descartes bekannt war (unveröffentlicht),[5] weshalb er in der französischen Literatur auch als „Satz von Descartes und Euler“ bezeichnet wird. Der Beweis von Euler benutzt die Zerlegung eines Polyeders in Tetraeder, wobei eine Ecke nach der anderen beseitigt wird.[6] Der erste strenge Beweis wurde von Adrien-Marie Legendre 1794 veröffentlicht, in seinem Buch Élements de Géométrie. Legendres Beweis benutzt die Flächenformel eines geodätischen Dreiecks auf der Kugeloberfläche. Einen korrekten Beweis fand auch Augustin Louis Cauchy 1811, veröffentlicht 1813.[7] Bis heute sind viele verschiedene Beweise bekannt.

Eine Verallgemeinerung auf  -dimensionale Polyeder fanden Ludwig Schläfli und Henri Poincaré (1895). Poincaré erkannte auch die volle topologische Bedeutung des Satzes.

BeweiseBearbeiten

Klassischer BeweisBearbeiten

Dieser Beweis zeigt mit struktureller Induktion die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen.

Der einfachste Graph
Hinzufügen einer Ecke mit Kante
Hinzufügen einer Kante
Entstehung eines Würfelnetzes

Der einfachste planare Graph besteht aus nur einer Ecke. Es gibt eine Fläche (die Außenfläche) und keine Kanten. Es gilt also  . Aus diesem einfachsten Graphen können alle weiteren ausschließlich durch die beiden folgenden Operationen konstruiert werden, welche die Gültigkeit des Satzes nicht verändern:

  • Hinzufügen einer Ecke, die über eine neue Kante mit dem Rest des Graphen verbunden ist. Die Anzahl der Ecken und Kanten steigt jeweils um  , während die Anzahl der Flächen gleichbleibt. Galt für den alten Graphen  , so gilt es auch für den neuen, da in der Klammer der Gleichung   und   jeweils um   erhöht werden.
  • Hinzufügen einer Kante, die zwei bereits bestehende Ecken verbindet. Während die Anzahl der Ecken gleichbleibt, steigt die Anzahl der Kanten und Flächen jeweils um  . Wieder bleibt die Summe   gleich, da in der Klammer der Gleichung   und   jeweils um   erhöht werden.

Da der Satz für den ersten, einfachsten Graphen galt, muss er auch für jeden Graphen gelten, der durch eine der beiden Operationen aus diesem entsteht. Jeder Graph, der durch eine weitere Operation aus einem solchen Graphen entsteht, muss den Satz ebenfalls erfüllen usw. Daher gilt der Satz für alle planaren Graphen und damit auch für alle konvexen Polyeder.

Der Beweis stammt von Augustin-Louis Cauchy. Er war der Erste, der das Problem auf ein solches der Graphentheorie reduzierte.[8]

Beweis nach von StaudtBearbeiten

Karl von Staudt gab 1847 einen einfachen, nichtrekursiven Beweis in seiner Geometrie der Lage.[9]

Dazu betrachte man den Graphen   der planaren Projektion des Polyeders, das   Knoten,   Kanten und   Flächen hat. Der Graph ist für die betrachteten Polyeder zusammenhängend[10] und hat damit einen Spannbaum  . Da   genau   Knoten enthält und ein zusammenhängender Baum ist (ohne Zykel), hat er   Kanten. Man betrachte nun den zu   dualen Graphen  , gebildet aus den Mittelpunkten der Flächen von  , und verbinde diese so mit Kanten, dass diese die Kanten in   nicht schneiden. Dieser Kantenzug   ist zusammenhängend, da   keine Kreise enthält. Er ist ebenfalls ein Baum, sonst würde er einen Kreis (Zykel) enthalten, der die Knoten von   in zwei Teile teilt und somit eine Kante von   schneidet, entgegen der Konstruktionsvoraussetzung.   hat damit   Knoten und   Kanten. Die Kanten in   setzen sich aus den Kanten von   zusammen oder werden von einer Kante von   gekreuzt, somit gilt  .

Ein ungewöhnlicher BeweisBearbeiten

 
Polyeder (oben) und zugehöriger planarer Graph (unten) – eingebettet in ein Gitternetz

Dieser Beweis zeigt die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen mit Hilfe des Satzes von Pick. Umgekehrt lässt sich auch der Satz von Pick aus dem Eulerschen Polyedersatz herleiten, sodass beide äquivalent sind.[11]

Um den Satz von Pick anwenden zu können, muss der Graph in ein Gitternetz eingebettet werden, sodass die Knotenpunkte des Graphen auf Gitterpunkten liegen. Der Graph bleibt äquivalent, wenn man jeden Knotenpunkt innerhalb einer geeignet kleinen Umgebung bewegt. Der Radius des kleinsten Kreises um einen Knotenpunkt, der vollständig in die Umgebung eingebettet ist, sei  . Es wird ein beliebiges Gitternetz mit Einheit   auf der Ebene betrachtet. Dann können wir jeden Knotenpunkt auf einen Gitterpunkt verschieben und erhalten sicher einen äquivalenten Graphen. Der planare Graph besitzt jetzt insgesamt   Knotenpunkte,   Kanten und   innere Flächen.

Der gesamte (innere) Flächeninhalt   des planaren Graphen kann mit Hilfe des Satzes von Pick auf zwei Arten bestimmt werden. Beide Berechnungen müssen das gleiche Ergebnis liefern. Wir werden diese Berechnungen ((1) und (2)) am Ende gleichsetzen und den Eulerschen Polyedersatz erhalten.

Zunächst müssen alle Gitterpunkte innerhalb des Graphen oder auf ihm charakterisiert werden:

Inneres Rand Formel für A
z y v x u A
Gesamter Graph 57 8 4 2 4 71  
 F1 (o. r.) 17 4 2 0 2 20  
Bei dieser Summe
liegen die Punkte
  und   auf dem
Rand.
 F2 (o. l.) 14 3 2 1 2 17
 F3 (mittlere) 11 2 4 0 0 13
 F4 (u. r.) 8 4 2 0 2 11
 F5 (u. l.) 7 3 2 1 2 10
Summe F1−5 57 16 12 2 8 71
  • Die Punkte innerhalb werden in drei Kategorien eingeteilt: Knotenpunkte  , Punkte auf Kanten   und sonstige  .
  • Die Punkte auf dem Rand werden in zwei Kategorien eingeteilt: Knotenpunkte   und Punkte auf Kanten  .
  • Die Anzahl der Punkte   sei jeweils:  .
  • Die Anzahl der Ecken (bzw. Knoten) ist offensichtlich die Summe derer im Inneren und derer auf dem Rand:
 .  (1)

Betrachten wir nun den Graphen nur anhand seiner belegten Flächen unter Vernachlässigung seiner genauen inneren Struktur.

  • Der Flächeninhalt   des gesamten Graphen ist gleich der Summe der Flächeninhalte   der   Teilflächen:
 .
  • Für die Gesamtfläche sind  ,   und   innere Punkte und   und   Randpunkte.
  • Für die Teilflächen sind   innere Punkte und  ,  ,   und   Randpunkte.   und   werden für die Teilflächen zu Randpunkten.
  • Die Flächeninhalte berechnen sich daher unter Anwendung des Satzes von Pick zu:
   und
 .
Daraus folgt:
   und ausgeschrieben
 .
  • Die sonstigen Punkte   kommen in beiden Summen je einmal vor, daher gilt:
 .
  • Gleiches gilt für die Gitterpunkte auf dem äußeren Rand  , daher gilt:
 .
  • Die inneren Punkte auf den Kanten   kommt in der Gesamtsumme einmal vor, in der Summe der Teilsummen zweimal, da sie von beiden angrenzenden Flächen je einmal aufsummiert werden. Daher gilt:
 .
  • Das ergibt:
 .
 .
  • Wir addieren zu beiden Seiten   und bringen   auf die linke Seite:
 
 .  (2)
  • Die inneren Knotenpunkte   werden bei dieser Summation genau so oft gezählt wie die Anzahl der Flächen, die in diesen Knotenpunkten enden, angibt. Allerdings ist diese identisch mit der Anzahl der dort jeweils beginnenden Kanten.
  stellt damit die Anzahl der Kantenanfänge durch die inneren Knotenpunkte dar.
  • Die Rand-Knotenpunkte   werden bei dieser Summation um   weniger gezählt als dort Flächen enden. Addiert man zu der Summe die Anzahl der Rand-Knotenpunkte dazu, ist dieser Makel beseitigt.
  stellt damit die Anzahl der Kantenanfänge durch die äußeren Knotenpunkte dar.
  • Die Summe beider Ausdrücke stellt daher selbst die Anzahl aller Kantenanfänge dar.
Da aber jede Kante zwei Kantenanfänge hat, haben   Kanten   Kantenanfänge. Diese Summe beträgt daher  , da sie alle Kantenanfänge zählt (unabhängig davon, ob sie bei der „Planierung“ des Polyeders gerade innere oder Rand-Knotenpunkte geworden sind) und die Anzahl aller Kantenanfänge den Wert   hat.
 .
  • Das setzen wir in (2) ein:
 .
  • Wir setzen noch (1) ein und erhalten
   bzw.   .   ∎ 
Hinweis

Man kann den Beweis auch anhand des Beispiels numerisch Schritt für Schritt durchrechnen. Das erleichtert das Verständnis.

Verallgemeinerung auf planare GraphenBearbeiten

 
Planarer Graph (erfüllt den Euler­schen Poly­eder­satz), dem aber kein eben­flächiges Poly­eder zugrunde liegt, sondern ein krummflächiger Körper

Vom Polyeder zum planaren GraphenBearbeiten

Hat ein Polyeder ein zusammenhängendes Inneres ohne Löcher, kann die Beziehung seiner Flächen, Kanten und Ecken auch als planarer Graph (ein ebenes, zusammenhängendes Netz, dessen Kanten einander nicht schneiden) dargestellt werden. Man bezeichnet diesen Graphen auch als Schlegeldiagramm.

Dies kann man sich wie folgt veranschaulichen: Entfernt man eine Fläche des Polyeders und zieht die angrenzenden Kanten auseinander, kann man das Netz des Polyeders auf eine Ebene projizieren und in einen planaren Graphen überführen. Dabei bleiben nicht unbedingt alle Regelmäßigkeiten des Polyeders erhalten – die entstehenden Flächen müssen noch nicht einmal Vielecke sein –, die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen (die Außenfläche mitgezählt) sowie die Struktur des Netzes bleiben aber erhalten.

Der Eulersche Polyedersatz für planare GraphenBearbeiten

Für zusammenhängende planare Graphen kann eine verallgemeinerte Version des Eulerschen Polyedersatzes formuliert werden. Dort ersetzen die Gebiete die Flächen und es gilt

Knotenzahl   Kantenzahl   Gebietszahl  ,

wobei bei der Gebietszahl das äußere Gebiet mitgezählt wird.

Diese Formulierung erweitert den Gültigkeitsbereich des Satzes um eine Vielzahl nichtkonvexer Polyeder sowie solcher planarer Graphen, denen überhaupt keine Polyeder zugrunde liegen.

Wird der Eulersche Polyedersatz zuerst für planare Graphen bewiesen, so ergibt sich der klassische Polyedersatz hieraus als Spezialfall.

Die Euler-CharakteristikBearbeiten

Eine weiterreichende Verallgemeinerung des Konzepts findet sich in der Euler-Charakteristik einer geschlossenen Fläche. Aus dieser Sichtweise ist die Konvexität des Polyeders lediglich eine (starke) hinreichende Voraussetzung, um zu gewährleisten, dass die Oberfläche des Polyeders homöomorph zur 2-Sphäre (Kugeloberfläche) ist.

Verallgemeinerung für beliebige PolytopeBearbeiten

Der Eulersche Polyedersatz, der für dreidimensionale, zu kreuzungsfreien und zusammenhängenden Graphen homöomorphe Polyeder gilt, lässt sich für beliebige Polytope   verallgemeinern:

 

Die   statt der   (im Eulerschen Polyedersatz) ergibt sich dadurch, dass das Polytop in seiner höchsten Dimension als   selbst mitgezählt wird:

  Hexaeder hat   Flächen,   Kanten und   Ecken.

Man könnte auch schreiben   für ungerade   und   für gerade   und man wäre damit näher an der Darstellung nach Euler dran, aber diese Art der Darstellung ist zum einen zweifellos unschöner und versagt des Weiteren bei Polytopen, die nicht komplett zusammenhängen. Sie dazu auch in der Einleitung die Bemerkungen zu   und  .

Dabei haben die Zeichen folgende Bedeutung:

  ist die Euler-Poincaré-Charakteristik des Polytops  .
  ist die Dimension des Polytops  , z. B.
 :  Polygon wie z. B. das Quadrat,
 :  Polyeder wie z. B. der Würfel und
 :  Polychor wie z. B. das Tesserakt.
  ist die Anzahl der Ecken von   (die Anzahl der „Begrenzungselemente“ ohne Dimension, d. h. Punkte, engl. Vertex),
  ist die Anzahl der Kanten von   (die Anzahl der eindimensionalen „Begrenzungselemente“, d. h. Linien, engl. Edge),
  ist die Anzahl der Flächen von   (die Anzahl der zweidimensionalen „Begrenzungselemente“, d. h. Flächen, engl. Face),
  ist die Anzahl der Zellen von   (die Anzahl der dreidimensionalen „Begrenzungselemente“, d. h. Volumina, engl. Cell),
…,
  ist die Anzahl der  -Polytope (die Anzahl der  -dimensionalen „Begrenzungselemente“),
…,
  (die Anzahl der höchstdimensionalen „Begrenzungselemente“, engl. Peak, Ridge/Subfacet und Facet),
  ( , wenn komplett zusammenhängend, sonst größer) zählt das Polytop selbst.

BeispieleBearbeiten

Polytop   Schläfli-
Symbol
    Ecken
 
Kanten
 
Flächen
 
Zellen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0-Polytop
Punkt () 0 1 001
1-Polytop
Strecke {} 1 1 002 001
Winkel 1 1 003 002
  Punkte verbunden[12] 1 1 00n 0n−1
Polygon
Zweieck {2} 2 1 002 002 001
Dreieck {3} 2 1 003 003 001
Viereck {4} 2 1 004 004 001
Fünfeck {5} 2 1 005 005 001
n-Eck, nicht überschlagen {n} 2 1 00n 00n 001
2 Dreiecke mit gemeinsamer Ecke 2 1 005 006 002
2 Dreiecke mit gemeinsamer Kante 2 1 004 005 002
Polyeder
Tetraeder {3,3} 3 1 004 006 004 001
Hexaeder {4,3} 3 1 008 012 006 001
Oktaeder {3,4} 3 1 006 012 008 001
Dodekaeder {5,3} 3 1 020 030 012 001
Ikosaeder {3,5} 3 1 012 030 020 001
quadratische Doppelpyramide
mit gemeinsamer Spitze
3 1 009 016 010 002
Polychor
Pentachoron {3,3,3} 4 1 005 0010 0010 005 001
16-Zeller (Hexadekachor) {4,3,3} 4 1 008 0024 0032 016 001
Tesserakt {3,3,4} 4 1 016 0032 0024 008 001
24-Zeller (Ikositetrachor) {3,4,3} 4 1 024 0096 0096 024 001
120-Zeller (Hekatonikosachor) {5,3,3} 4 1 600 1200 0720 120 001
600-Zeller (Hexakosichor) {3,3,5} 4 1 120 0720 1200 600 001
Simplex
Punkt () 0 1 001
Strecke {} 1 1 002 001
Dreieck {3} 2 1 003 003 001
Tetraeder {3,3} 3 1 004 006 004 001
Pentachoron {3,3,3} 4 1 005 010 010 005 001
5-Simplex  {3,3,3,3} 5 1 006 015 020 015 006 001
6-Simplex  {35} 6 1 007 021 035 035 021 007 001
7-Simplex  {36} 7 1 008 028 056 070 056 028 008 001
d-Simplex  {3d−1} d 1     001
Hyperwürfel
Punkt () 0 1 001
Strecke {} 1 1 002 001
Viereck {4} 2 1 004 004 001
Hexaeder {4,3} 3 1 008 012 006 001
Tesserakt {4,3,3} 4 1 016 032 024 008 001
5-Kubus  {4,3,3,3} 5 1 032 080 080 040 010 001
6-Kubus  {4,34} 6 1 064 192 240 160 060 012 001
7-Kubus  {4,35} 7 1 128 448 672 560 280 084 014 001
d-Kubus  {4,3d−2} d 1     001
Kreuzpolytop
Strecke {} 1 1 002 001
Viereck {4} 2 1 004 004 001
Oktaeder {3,4} 3 1 006 012 008 001
16-Zeller (Hexadekachor) {3,3,4} 4 1 008 024 032 016 001
5-Orthoplex  {3,3,3,4} 5 1 010 040 080 080 032 001
6-Orthoplex  {34,4} 6 1 012 060 160 240 192 064 001
7-Orthoplex  {35,4} 7 1 014 084 280 560 672 448 128 001
d-Orthoplex  {3d−2,4} d 1     001

LiteraturBearbeiten

  • David Richeson: The polyhedral formula. In: Robert Bradley, Edward Sandifer (Hrsg.): Euler: Life, Work, Legacy. Elsevier, 2007.
  • David Richeson: Euler’s gem. Princeton University Press, 2008.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wenn das Polyeder elastisch wäre und man in sein Inneres eine große Kugel bringen könnte, könnte man es auf dieser Kugel aufspannen.
  2. Darauf wies zuerst Louis Poinsot 1810 hin.
  3. The Euler Archive. In: scholarlycommons.pacific.edu. Abgerufen am 1. August 2021.
  4. Euler: Elementa doctrine solidorum. In: Novi comm. acad. scientiarum imperialis petropolitanae. 4, 1758, S. 72–93 (Eneström-Index E 230). Euler: Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. In: Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 4, 1758, S. 94–108 (sein Beweis, E 231). Nachdruck in Opera Omnia. Band 26. Die beiden Arbeiten stammen schon von 1750 bzw. 1751.
  5. E. de Jonquières: Note sur une pointe fundamental de la théorie des polyèdres. In: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 110, 1890, S. 110–115. Aus Descartes’ nachgelassenen Schriften, überliefert nur aus einer Kopie von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1860 in der Landesbibliothek Hannover entdeckt. Richeson: The polyhedral formula. Siehe Literatur.
  6. Dargestellt in David Richeson: Eulers gem. Princeton University Press 2008, Kapitel 7, S. 67 ff.
  7. Cauchy: Recherches sur les polyèdres. In: J. Ecole Polytechnique. 9, 1813, S. 68–98.
  8. David Richeson: Eulers gem. Princeton University Press, 2008, Kapitel 12.
  9. Zum Beispiel: Aigner, Ziegler: Proofs from the Book. Springer Verlag, 2010, Kapitel 12 Three applications of Euler’s Formula. David Richeson: The polyhedral formula. In: Bradley, Sandifer: Euler. Elsevier, 2007, S. 434. Er wird auch in H. S. M. Coxeter: Regular Polytopes dargestellt. Hier in der Graphentheorie-Version von Aigner, Ziegler.
  10. Historisch leitete Staudt damit ein Kriterium für die Polyeder ab, für die der Satz zutrifft.
  11. D. DeTemple, J. M. Robertson: The equivalence of Euler’s and Pick’s theorems. In: American Mathematical Monthly. Band 98, 1991, S. 97–108.
  12. …, sodass gerade ein geschlossener Graph entsteht; außerdem ohne „Überschlag“, d. h., die Verbindungslinien kreuzen sich nicht.