Dodekaederstern

Der Dodekaederstern, auch Kleines Sterndodekaeder genannt, ist ein reguläres Polyeder und einer der vier Kepler-Poinsot-Körper. Er wird von 12 regelmäßigen Pentagrammen begrenzt, die 60 gleichschenklige Dreiecke bilden. Der Sternkörper zeichnet sich durch die Gleichheit sämtlicher Flächenwinkel – sowohl innen als auch außen – von 116,57° aus.

Dodekaederstern (12 Spitzen)

EigenschaftenBearbeiten

Werden sämtliche 30 Kanten eines Dodekaeders[1] über seine Ecken hinaus verlängert, bis sich jeweils 5 von ihnen in einem Punkt schneiden, so entsteht ein Dodekaederstern, den man sich als Dodekaeder mit 12 aufgesetzten Pyramiden vorstellen kann. Die Zacken des Dodekaedersterns bilden die 12 Eckpunkte eines regelmäßigen Ikosaeders.

Der Dodekaederstern ist der umschriebene Körper von 12 sich gegenseitig schneidenden Pentagrammen, die koinzident mit den Begrenzungsflächen eines Dodekaeders sind. Im Inneren des Dodekaedersterns befinden sich 20 gleichseitige Dreiecke, Schnittflächen, deren Seitenlänge gleich der der Pentagrammdiagonale ist, und die ein Großes Ikosaeder aufspannen.

Der Dodekaederstern ist dual zum Großen Dodekaeder. Jede Ecke des Dodekaedersterns ist einem regelmäßigen Fünfeck des Großen Dodekaeders zugeordnet, und jede Ecke des Großen Dodekaeders gehört zu einem regelmäßigen Pentagramm des Dodekaedersterns.

FormelnBearbeiten

 
Körpernetz eines Dodekaedersterns
Größen eines Dodekaedersterns mit Kantenlänge a
Volumen    
Oberflächeninhalt    
Länge der Schenkel

der gleichschenkligen Dreiecke

   
Länge der Basis

der gleichschenkligen Dreiecke

   
Umkugelradius    
Kantenkugelradius    
Inkugelradius    
Höhe der Pyramiden    
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen    
Innenwinkel des

regelmäßige Pentagramms

 
Winkel zwischen benachbarten Flächen  

Zusammenhang mit anderen PolyedernBearbeiten

 
Durch Abstumpfen entsteht der abgestumpfte Dodekaederstern, der von außen wie ein Dodekaeder aussieht, das Dodekadodekaeder und schließlich das Große Dodekaeder.

Die konvexe Hülle ist das Ikosaeder. Es hat auch gemeinsame Kanten mit dem Großen Ikosaeder. Es gibt vier verwandte Polyeder, die durch Abstumpfen entstehen.

Das duale Polyeder ist das Große Dodekaeder. Das Dodekadodekaeder ist eine Rektifikation, wobei Kanten bis zu Punkten abgestumpft werden. Der abgestumpfte Dodekaederstern kann als ein degeneriertes reguläres Polyeder angesehen werden, weil seine Ecken und Kanten übereinstimmen, aber es ist für die Vollständigkeit enthalten. Die Oberfläche sieht aus wie ein normales Dodekaeder, aber es hat 24 Seitenflächen, die paarweise übereinstimmen. Die Spitzen werden abgeschnitten, bis sie die Ebene des Pentagramms unter ihnen erreichen. Die 24 Seitenflächen sind 12 regelmäßige Fünfecke von den abgestumpften Ecken und 12 Fünfecke, die die Form von doppelt gewundenen Fünfecken annehmen, die die ersten 12 Fünfecke überlappen. Diese werden gebildet, indem die ursprünglichen Pentagramme abgestumpft werden.

Skulpturen in Form eines DodekaedersternsBearbeiten

 
Skulptur eines Dodekaedersterns nach einer Zeichnung von M. C. Escher
 
Skulptur Dodekaederstern, in Wien IX., in Anspielung an den Platznamen und die Waffe Morgenstern

Auf dem Gelände der Universität Twente in Enschede (Niederlande) befindet sich eine Metallskulptur eines Dodekaedersterns, die nach einer Zeichnung von M. C. Escher geschaffen wurde.

Anlässlich der Adaptierung des früher von der Pensionsversicherungsanstalt genutzten Gebäudes am Oskar-Morgenstern-Platz 1 in Wien-Alsergrund für die Fakultäten der Mathematik und der Wirtschaftswissenschaften der Universität Wien, wurde die Skulptur Dodekaederstern angebracht. Die Oberfläche stellt die Lösung einer Gleichung in 3 Dimensionen dar und ähnelt mit seinen 20 gekurvten Spitzen einem Dodekaeder-Antistern.[2] Nach einer Idee und dem Entwurf von Herwig Hauser von der Fakultät für Mathematik wurden die zwanzig Einzelteile der Sternskulptur aus Glasfaserverbundwerkstoff (GFK) gefertigt. Die einzelnen Segmente der selbsttragenden GFK-Struktur sind über Flansche miteinander verschraubt. Die Zugseile für die Aufhängung sind mit einem innenliegenden Stahlgerüst verbunden.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Die Kantenlänge des einbeschriebenen Dodekaeders sei mit a bezeichnet.
  2. dodekaederstern.cc

WeblinksBearbeiten