Pentakisdodekaeder

konvexes Polyeder, zusammengesetzt aus 60 gleichschenkligen Dreiecken

Das Pentakisdodekaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Ikosaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten. Der Name setzt sich aus den griechischen Wörtern πεντάκις (pentakis, fünffach) und δωδεκάεδρον (dodekaedron, Zwölfflächner) zusammen.

3D-Ansicht eines Pentakisdodekaeders (Animation)

EntstehungBearbeiten

Als Grundkörper dient quasi das Dodekaeder mit Seitenlänge  , auf dessen 12 Begrenzungsflächen je eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche und der Flankenlänge   aufgesetzt wird. Ein Pentakisdodekaeder entsteht genau dann aus dieser Konstruktion, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

 
  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von   haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Dodekaeder mit der Kantenlänge   übrig bleibt.
  • Das spezielle Pentakisdodekaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn   ist.
  • Nimmt   den o. g. maximalen Wert an, entartet das Pentakisdodekaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge  .
  • Überschreitet   den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für   zum Dodekaederstern.

FormelnBearbeiten

AllgemeinBearbeiten

Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlängen a, b[1]
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Pyramidenhöhe  
Inkugelradius  
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 

SpeziellBearbeiten

 
Netz des Pentakisdodekaeders
Größen eines Pentakisdodekaeders mit Kantenlänge a[2]
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Pyramidenhöhe  
Inkugelradius  
Kantenkugelradius  
Flächenwinkel
 ≈ 156° 43′ 7″
 
Sphärizität
 ≈ 0,97948
 

AnmerkungenBearbeiten

  1.  
  2.  ;  

WeblinksBearbeiten

Commons: Pentakisdodekaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien