Triakisikosaeder

konvexes Polyeder, das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt

Das Triakisikosaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Dodekaederstumpf und hat 32 Ecken sowie 90 Kanten.

3D-Ansicht eines Triakisikosaeders (Animation)

EntstehungBearbeiten

Werden auf die 20 Begrenzungsflächen eines Ikosaeders (Kantenlänge  ) Pyramiden mit der Flankenlänge   aufgesetzt, entsteht ein Triakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

 
  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von   haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Ikosaeder mit der Kantenlänge   übrig bleibt.
  • Das spezielle Triakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn   ist.
  • Nimmt   den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakisikosaeder zu einem Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge  .
  • Überschreitet   den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet schließlich für   zum Ikosaederstern.

FormelnBearbeiten

Allgemein[1]Bearbeiten

Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Pyramidenhöhe  
Inkugelradius  
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 

Speziell[2]Bearbeiten

 
Kantenkugel im speziellen Triakisikosaeder: Deutlich treten die Kugelkappen auf den einzelnen Dreiecksflächen hervor. Die Inkreise sind zugleich Schnittflächen der Dreiecke mit der Kantenkugel.
Größen eines Triakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen  
Oberflächeninhalt  
2. Seitenlänge
 ≈ 0,5802 · a
 
Pyramidenhöhe  
Inkugelradius  
Kantenkugelradius  
Flächenwinkel
 ≈ 160° 36′ 45″
 
Sphärizität
 ≈ 0,96734
 

AnmerkungenBearbeiten

  1.  
  2.  

WeblinksBearbeiten

Commons: Triakisikosaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien