Pentagonhexakontaeder

konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt

Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.

3D-Ansicht eines Pentagonhexakontaeders (Animation)
Netz des Pentagonhexakontaeders

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

EntstehungBearbeiten

 
Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Dodekaeder

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term   den Kosinus des kleineren Zentriwinkels   im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck;   sei die Goldene Zahl.

  ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung  .

  [1]

Sei   die Kantenlänge des abgeschrägten Dodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

 
 .

Damit stehen die beiden Seitenlängen im folgenden Verhältnis zueinander:[2]

 

Verwandte PolyederBearbeiten

Formeln[3]Bearbeiten

Für das PolyederBearbeiten

Größen eines Pentagonhexakontaeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen[4]
 ≈ 35,42a3 ≈ 189,84b3
 
Oberflächeninhalt[4]
 ≈ 53,14a2 ≈ 162,73b2
 
Kantenkugelradius[4]  
Inkugelradius[4]  
Flächenwinkel[4]
 ≈ 153° 10′ 43″
 
Sphärizität
 ≈ 0,98163
 

Für die BegrenzungsflächenBearbeiten

Größen des Tangentenfünfecks
Flächeninhalt[4]  
Inkreisradius[4]  
Diagonale[4]    
Stumpfe Winkel[4](4)
 ≈ 118° 8′ 12″
 
Spitzer Winkel (1)
 ≈ 67° 27′ 13″
 

AnwendungBearbeiten

 
Größen in den Begrenzungsflächen des Pentagonhexakontaeders

In den USA ist ein Verfahren patentiert, bei dem 92 der insgesamt 332 Vertiefungen („dimples“) eines Golfballs auf den Gitterpunkten eines Pentagonhexakontaeders liegen.[5]

Anmerkungen und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. t ≈ 0,47157563
  2. Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
  3. Diese Formeln gelten für den Fall  .
  4. a b c d e f g h i Diese Formel gilt auch für das Pentagonikositetraeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.
  5. Pentagonal hexecontahedron dimple pattern on golf balls (englisch)

WeblinksBearbeiten

Commons: Pentagonhexakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Pentagonhexakontaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen