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Hexakisoktaeder

konvexes Polyeder, das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt
3D-Ansicht eines Hexakisoktaeders (Animation)
Netz des Hexakisoktaeders

Das Hexakisoktaeder (aus griechisch ἑξάκις hexakis „sechsmal“ und Oktaeder „Achtflächner“) oder Disdyakisdodekaeder (griechisch δίς dis „zweimal“, griechisch δυάκις dyakis „zweimal“ und Dodekaeder „Zwölfflächner“) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Kuboktaederstumpf und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.

Inhaltsverzeichnis

EntstehungBearbeiten

Rhombendodekaeder als BasisBearbeiten

Werden auf die 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders (Kantenlänge  ) Pyramiden mit den Flankenlängen   und   aufgesetzt, entsteht ein Hexakisoktaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

 
  • Für den o. g. minimalen Wert von   haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge   übrig bleibt.
  • Das spezielle Hexakisoktaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten   und   entsteht, wenn   ist.
  • Nimmt   den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisoktaeder zu einem Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen   und  .
  • Überschreitet   den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Kuboktaederstumpf als BasisBearbeiten

 
Konstruktion des Dreiecks am Kuboktaederstumpf

Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Kuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisoktaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 155°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Sei d die Kantenlänge des Kuboktaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

 
 
 

FormelnBearbeiten

Im Folgenden bezeichne   die jeweils längste Kante des Hexakisoktaeders ( ).

RegulärBearbeiten

Basis ist das abgestumpfte Kuboktaeder (dualer archimedischer Körper).

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Inkugelradius  
Kantenkugelradius  
Flächenwinkel
 ≈ 155° 4′ 56″
 
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt  
2. Seitenlänge  
3. Seitenlänge  
1. Winkel
 ≈ 87° 12′ 7″
 
2. Winkel
 ≈ 55° 1′ 29″
 
3. Winkel
 ≈ 37° 46′ 24″
 

RhombischBearbeiten

Basis ist das Rhombendodekaeder (Kantenlänge  ).

AllgemeinBearbeiten

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Pyramidenhöhe  
Inkugelradius  
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 
Flächenwinkel
 (über Kante c)
 
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt  
3. Seitenlänge  
1. Winkel  
2. Winkel  
3. Winkel  

SpeziellBearbeiten

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlänge a
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Inkugelradius  
Flächenwinkel
 (ü. Kanten a, b)
≈ 153° 6′ 4″
 
Flächenwinkel
 (ü. Kante c)
≈ 161° 4′ 4″
 
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt  
2. Seitenlänge  
3. Seitenlänge  
1. Winkel
 ≈ 87° 42′ 53″
 
2. Winkel
 ≈ 55° 52′ 13″
 
3. Winkel
 ≈ 36° 24′ 54″
 

VorkommenBearbeiten

  • Das Hexakisoktaeder kommt in der Natur als Kristallform vor. Es ist die allgemeine Flächenform der hexakisoktaedrischen Kristallklasse m3m.
  • Zur Anwendung kommt das Hexakisoktaeder auch als Spielwürfel (W48).

WeblinksBearbeiten

  Commons: Disdyakisdodekaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wiktionary: Hexakisoktaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen