Hexakisikosaeder

konvexes Polyeder, das sich aus 120 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt

Das Hexakisikosaeder (aus griechisch ἑξάκις hexakis „sechsmal“ und Ikosaeder „Zwanzigflächner“) oder Disdyakistriakontaeder (griechisch δίς dis „zweimal“, δυάκις dyakis „zweimal“ und Triakontaeder „Dreißigflächner“) ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 120 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Ikosidodekaederstumpf und hat 62 Ecken sowie 180 Kanten.

3D-Ansicht eines Hexakisikosaeders (Animation)
Netz des Hexakisikosaeders

EntstehungBearbeiten

Rhombentriakontaeder als BasisBearbeiten

Werden auf die 30 Begrenzungsflächen eines Rhombentriakontaeders (Kantenlänge  ) Pyramiden mit den Flankenlängen   und   aufgesetzt, entsteht ein Hexakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:

 
  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von   haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombentriakontaeder mit der Kantenlänge   übrig bleibt.
  • Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten   und   entsteht, wenn   ist.
  • Nimmt b den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem Deltoidalhexakontaeder mit den Kantenlängen   und  .
  • Überschreitet   den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Ikosidodekaederstumpf als BasisBearbeiten

 
Konstruktion des Dreiecks am Ikosidodekaederstumpf

Durch Verbinden der Mittelpunkte dreier Kanten, die in jeder Raumecke des abgestumpften Ikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Dreieck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Dreiecks, der Begrenzungsfläche des Hexakisikosaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 165°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Sei   die Kantenlänge des Ikosidodekaederstumpfs, so sind die resultierenden Seitenlängen des Dreiecks gegeben durch

 
 
 

FormelnBearbeiten

Im Folgenden bezeichne   die jeweils längste Kante des Hexakisikosaeders ( ).

RegulärBearbeiten

Basis ist das abgestumpfte Ikosidodekaeder (dualer archimedischer Körper).

Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Inkugelradius  
Kantenkugelradius  
Flächenwinkel
 ≈ 164° 53′ 16″
 
Sphärizität
 ≈ 0,98572
 
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt  
2. Seitenlänge  
3. Seitenlänge  
1. Winkel
 ≈ 88° 59′ 30″
 
2. Winkel
 ≈ 58° 14′ 17″
 
3. Winkel
 ≈ 32° 46′ 13″
 

RhombischBearbeiten

Basis ist das Rhombentriakontaeder (Kantenlänge  ).

AllgemeinBearbeiten

Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlängen a, b
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Pyramidenhöhe  
Inkugelradius  
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 
Flächenwinkel
 (über Kante c)
 


Größen des Dreiecks
Flächeninhalt  
3. Kantenlänge  
1. Winkel  
2. Winkel  
3. Winkel  

SpeziellBearbeiten

Größen eines Hexakisikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Inkugelradius  
Flächenwinkel
 (ü. Kanten a, b)
≈ 163° 27′ 53″
 
Flächenwinkel
 (ü. Kante c)
≈ 169° 48′ 9″
 
Größen des Dreiecks
Flächeninhalt  
2. Seitenlänge  
3. Seitenlänge  
1. Winkel
 ≈ 89° 15′ 26″
 
2. Winkel
 ≈ 58° 39′ 10″
 
3. Winkel
 ≈ 32° 5′ 24″
 

WeblinksBearbeiten

Commons: Disdyakistriakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien