Deltoidalikositetraeder

konvexes Polyeder, das sich aus 24 Deltoiden zusammensetzt

Das Deltoidalikositetraeder (auch Deltoidikositetraeder genannt) ist ein konvexes Ikositetraeder, also ein Polyeder mit 24 Seitenflächen, bei dem diese Flächen zueinander kongruente Deltoide sind. Es zählt zu den Catalanischen Körpern. Es ist dual zum Rhombenkuboktaeder und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten.

3D-Ansicht eines Deltoidalikositetraeders (Animation)
Konstruktion des Deltoids am Rhombenkuboktaeder
Topologisch gleichwertig zum Deltoidalikositetraeder ist dieser dreifach geschnittene Würfel

In der Kristallographie und Mineralogie wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) nur als Ikositetraeder bezeichnet, daneben auch als Trapezoeder oder Leucitoeder (es ist die typische Kristallform des Leucits).

EntstehungBearbeiten

  • Werden auf die 14 Begrenzungsflächen eines Kuboktaeders quadratische sowie dreieckige Pyramiden mit der Flankenlänge   und   aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Deltoidalikositetraeder, sofern   und   sind. Das einbeschriebene Kuboktaeder hat dabei die Kantenlänge   (d. i. eine Diagonale des Drachenvierecks, s. u.).
  • Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des Rhombenkuboktaeders zusammenstoßen, entsteht ein Trapez, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel (≈ 138° 7’ 5") gleich groß, und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Sei   die Kantenlänge des Rhombenkuboktaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Deltoids gegeben durch
 
 
Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:[1]
 
Dieses spezielle (reguläre) Deltoidalikositetraeder ist der umbeschriebene Körper dreier zueinander senkrecht stehenden regelmäßiger Achtecke (mit Kantenlänge  ), die sich in ihren Ecken schneiden.
  • Weiterhin kann das Deltoidalikositetraeder als ein dreifach geschnittener „aufgeblähter“ Würfel angesehen werden, der mit seinen 24 quadratischen Begrenzungsflächen topologisch gleichwertig ist.

Verwandte PolyederBearbeiten

Formeln für das reguläre DeltoidalikositetraederBearbeiten

Für das DeltoidBearbeiten

 
Größen im Deltoid – Bemerkenswert bei diesem Drachenviereck, das auch ein Tangentenviereck darstellt, ist die Tatsache, dass 3 der insgesamt 4 Innenwinkel gleich groß sind.
Größen des Drachenvierecks
Seitenverhältnis  
Flächeninhalt  
Inkreisradius  
1. Diagonale  
2. Diagonale  
Spitze Winkel (3)
 ≈ 81° 34′ 44″
 
Stumpfer Winkel (1)
 ≈ 115° 15′ 47″
 

Für das PolyederBearbeiten

 
Netz des Deltoidalikositetraeders
Größen eines regelmäßigen Deltoidikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen
≈ 6,9a3 ≈ 14,91b3
 
Oberflächeninhalt
≈ 18,36a2 ≈ 30,69b2
 
Inkugelradius  
Kantenkugelradius  
Flächenwinkel
 ≈ 138° 7′ 5″
 
3D-Kantenwinkel
 = 135°
 
Sphärizität
 ≈ 0,95456
 

VorkommenBearbeiten

In der Natur kristallisieren z. B. Leucit, Analcim und Spessartin bevorzugt in Form von Deltoidalikositetraedern. Auch bei anderen Mineralen der Granatgruppe oder beim Fluorit kommen Deltoidalikositetraeder als Kristallform vor. Das Deltoidalikositetraeder, das ist die Form {hll} (mit h>l), ist entweder eine spezielle Form der Kristallklasse m3m, eine Grenzform des Pentagonikositetraeders in der Kristallklasse 432 oder eine Grenzform des Disdodekaeders in der Kristallklasse m3.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.

WeblinksBearbeiten

Commons: Deltoidalikositetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Deltoidalikositetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen