Ikosaederstern

Der Ikosaederstern (auch Großes Sterndodekaeder genannt) ist ein reguläres Polyeder und gehört zu den Keplerschen Sternkörpern; es wird von 60 gleichschenkligen Dreiecken^[1] begrenzt. Der Sternkörper zeichnet sich durch die Gleichheit sämtlicher Flächenwinkel – sowohl innen als auch außen – von 63,44° aus. Ein Faltung des Sterns aus Papier ist der Bascetta-Stern.

Ikosaederstern

Entstehung & EigenschaftenBearbeiten

Ikosaederstern in Form des Bascetta-Sterns aus Transparentpapier Ø 30 cm

Werden sämtliche Kanten eines Ikosaeders^[2] über seine Ecken hinaus verlängert, bis sich jeweils drei von ihnen in einem Punkt schneiden, so entsteht ein Ikosaederstern, den man sich als Ikosaeder mit 20 aufgesetzten Pyramiden vorstellen kann. Die Zacken des Ikosaedersterns bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Dodekaeders mit der Seitenlänge $s={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$ .

Der Ikosaederstern ist der umschriebene Körper von zwölf sich gegenseitig schneidenden Pentagrammen, die koinzident zu den pentagonalen Schnittflächen eines Ikosaeders sind
Triakisikosaeder und Ikosaederstern sind topologisch gleichwertig.
Die Oberflächen von Dodekaederstern und Ikosaederstern sind gleich, wobei ersterer das größere Volumen einschließt.

FormelnBearbeiten

Größen eines Ikosaedersterns mit Kantenlänge a^[2]
Volumen	$V={\frac {5}{4}}a^{3}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=15a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$
Umkugelradius	$R={\frac {a}{4}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$
Pyramidenhöhe	$k={\frac {a}{6}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$
Gratlänge	$s={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
Pentagrammdiagonale	$c=a\left(2+{\sqrt {5}}\right)=a+2s$
Flächenwinkel ≈ 63° 26′ 6″	$\cos \,\alpha ={\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}$