Divisionsalgebra

Divisionsalgebra

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Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und BeispielBearbeiten

Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra  , in der zu je zwei Elementen   die Gleichungen   und   stets eindeutige Lösungen   besitzen. Dabei bezeichnet   die Vektormultiplikation in der Algebra. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Algebra frei von Nullteilern ist.[1]

Enthält die Divisionsalgebra ein Einselement, so dass für alle   gilt, dass  , so spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten   und  , die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:

 

Sätze über reelle DivisionsalgebrenBearbeiten

Eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 mit topologischen Methoden von John Milnor und Michel Kervaire bewiesen.

Die vier reellen, normierten, Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie):

Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt. Alle außer den Oktaven erfüllen das Assoziativgesetz der Multiplikation.

Jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra ist isomorph zu den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder zu den Quaternionen; dies ist der Satz von Frobenius (1877).

Jede reelle, endlichdimensionale kommutative Divisionsalgebra hat maximal die Dimension 2 als Vektorraum über den reellen Zahlen (Satz von Hopf, Heinz Hopf 1940). Dabei wird Assoziativität nicht vorausgesetzt.

Topologische Beweise der Existenz von Divisionsalgebren über den reellen ZahlenBearbeiten

Heinz Hopf zeigte 1940, dass die Dimension einer Divisionsalgebra eine Potenz von 2 sein muss.[2] 1958 zeigten dann Michel Kervaire und John Milnor[3] unabhängig voneinander unter Benutzung des Periodizitätssatzes von Raoul Bott über Homotopiegruppen der unitären und orthogonalen Gruppen, dass die Dimensionen  ,  ,   oder   sein müssen (entsprechend den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und Oktonionen). Letztere Aussage konnte bisher nicht rein algebraisch bewiesen werden. Der Beweis wurde von Michael Atiyah und Friedrich Hirzebruch auch mit Hilfe der K-Theorie formuliert.[4][5]

Dazu betrachtet man nach Hopf die Multiplikation einer Divisionsalgebra der Dimension   über den reellen Zahlen als stetige Abbildung   oder eingeschränkt auf Elemente der Länge   (man teile durch die Norm der Elemente, diese ist ungleich null für Elemente ungleich null da eine Divisionsalgebra nullteilerfrei ist) als Abbildung  . Hopf bewies, dass es eine solche ungerade Abbildung (das heißt  ) nur gibt, wenn   eine Potenz von   ist. Dazu benutzte er die Homologiegruppen des projektiven Raums. Es gibt weitere äquivalente Formulierungen zur Existenz von Divisionsalgebren der Dimension  :

  • Die Sphäre   (oder der projektive Raum  ) ist parallelisierbar (das heißt, es gibt zu jedem Punkt   von   (n-1) linear unabhängige Vektoren, die stetig von   abhängen und senkrecht auf   stehen).
  • Es gibt Vektorraumbündel   über   mit Stiefel-Whitney Kohomologieklasse   ungleich null.
  • Es gibt eine Abbildung   mit ungerader Hopf-Invariante (siehe Hopf-Verschlingung). Frank Adams zeigte, dass solche Abbildungen nur für   existieren.[6][7]

AnwendungBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. z. B. Shafarevich, Grundzüge der algebraischen Geometrie, Vieweg 1972, S. 201. Die lineare Abbildung   (analog für Rechtsmultiplikation) bildet D auf sich ab und ist injektiv, der Kern besteht danach nur aus der Null.
  2. Hopf, Ein topologischer Beitrag zur reellen Algebra, Comm. Math. Helvetici, Band 13, 1940/41, S. 223–226
  3. Milnor, Some consequences of a theorem of Bott, Annals of Mathematics, Band 68, 1958, S. 444–449
  4. Atiyah, Hirzebruch, Bott periodicity and the parallelisability of the spheres, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 57, 1961, S. 223–226
  5. Die Darstellung zu den topologischen Beweisen folgt Friedrich Hirzebruch, Divisionsalgebren und Topologie (Kapitel 10), in Ebbinghaus u. a. Zahlen, Springer, 1983
  6. Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, Band 72, 1960, S. 20–104
  7. Ein Beweis mit K-Theorie ist in Atiyah, K-Theory, Benjamin 1967