In der Mathematik und Mechanik dient die Euler-Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen. Mit vier Euler-Parametern , für die gilt, definiert

eine Drehmatrix. Diese Formel basiert auf der Rodrigues-Formel, benutzt aber eine andere Parametrisierung.

Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen.

Eigenschaften

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Symmetrie

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Die Parameter (   ) und (   ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

Vektorformulierung

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Aus den Parametern   kann ein Vektor   gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte   die transponierte Matrix, sodass   ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle  :

 

So motiviert sich die Bezeichnung für   als skalarer Parameter und   als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

 

zeigt sich

 

Darin ist   die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei   mit den Euler-Parametern  . Bei 180°-Drehungen ist   und  .

Drehwinkel und Drehachse

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Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel   und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor   mit   definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

 
 
 
 

Wenn   um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter  , die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also  . Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

 

Parameter einer Drehmatrix

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Ist die Drehmatrix   gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen[1]. Hat   nur positive Diagonalelemente, dann ist

 

Die restlichen Parameter entstehen aus

 

mit

i 1 2 3
qi b c d
j 2 3 1
k 3 1 2

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei   das größte Diagonalelement und

 

Mit diesem Wert und   aus obiger Tabelle ermittelt sich

 

Berechnung der Drehmatrix einmal mit   und einmal mit   und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von  .

Verknüpfung zweier Rotationen

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Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern   für die erste Drehung   und   für die zweite Drehung   ergibt sich die kombinierte Drehung   aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

 
 
 
 .

Auch hier gilt wieder  , was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

 

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

Verbindung mit anderen Konstrukten

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Quaternionen

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Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter   ist ihr reeller Anteil und   ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen  , die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen   bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung   elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

 

Hier sind   und   die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln   nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist  .

Pauli-Matrizen

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Die unitären 2 × 2-Matrizen

 

mit der imaginären Einheit   der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen   zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen   transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

 

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler-Parameter:

 

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Axel Volkwein: Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen. Hrsg.: Institut für Baustatik und Konstruktion, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. vdf Hochschulverlag AG, 2004, ISBN 978-3-7281-2986-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. Juni 2017]).