Spin-Gruppe

Überlagerung von Drehgruppen

Die Spin-Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik, insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik. Eine zentrale Eigenschaft der Spin-Gruppe ist, dass sie eine 2-fache Überlagerung der Drehgruppe ist.

Definition

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Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum   über einem Körper   und einer quadratischen Form   auf   definiert man die Clifford-Algebra   als die Algebra über  , die von   und dem Einselement   erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation

 

erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren

 .

Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

 

auf dem  -Vektorraum   wird kurz als   bezeichnet.

Für   bezeichnet man mit   die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

 

auf dem  -Vektorraum  .

Beispiele

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Für   hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:

  •  
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  •  
  •  
  •  

Spin(n) als 2-fache Überlagerung der SO(n)

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Satz:   ist eine zweifache Überlagerung der  .

Beweisskizze: In der Clifford-Algebra   gilt   für alle   mit  . Die Abbildung

 

ist eine Spiegelung des   und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung

 .

Weil jedes Element aus   Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist. Der Kern besteht nur aus  , denn Elemente im Kern müssen mit allen   kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von   besteht.   sind die einzigen zu   gehörenden skalaren Vielfachen von  , wie man mittels der in   gültigen Formel   sieht, aus der für Vielfache von   folgt, dass ihr Quadrat   ist.

Für   ist   einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von  .

Analog ist   eine zweifache Überlagerung von  , der Zusammenhangskomponente der Eins von  . Für   ist   zusammenhängend, dagegen hat   zwei Zusammenhangskomponenten.

Lie-Algebra von Spin(n)

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Die Lie-Algebra   von   ist der von den Produkten   mit   aufgespannte Unterraum von  .

Die Überlagerung   induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra   der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur  . Dabei entspricht   der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen  .

Darstellungen von Spin(n)

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Durch den Homomorphismus   werden alle Darstellungen von   auch zu Darstellungen von  . Das sind zunächst die Standard-Darstellung von   auf   und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren   für  

Darüber hinaus gibt es noch für ungerade   die Spinor-Darstellung und gerade   die beiden Halbspinor-Darstellungen von  , welche sich nicht als Darstellungen von   faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von  .

Literatur

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