Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)

Ein unbestimmter Ausdruck ist in der Mathematik ein Term, dessen Auftreten bei der Untersuchung von Grenzwerten eine besondere Rolle spielt. Der Begriff ist zu unterscheiden vom undefinierten Ausdruck.

ProblemdarstellungBearbeiten

Da die Division durch Null nicht definiert ist, stellt der Term 1 : 0 keine Zahl dar. Vergleicht man mit 1 : x, wobei x eine sehr kleine (aber positive) Zahl sein soll, so ergibt sich ein sehr großer Wert. Bei negativen x ergibt sich dagegen ein entsprechender negativer Wert von großem Betrag. Es liegt daher nahe, das Symbol einzuführen, so dass man immerhin die Betragsaussage   treffen kann. Das Rechnen mit den um unendliche Elemente erweiterten reellen Zahlen ist mit geringen Einschränkungen möglich (siehe ausführlich erweiterte reelle Zahl). Einigen Termen wie 0 : 0 dagegen kann auch in solch einer Erweiterung weder eine Zahl noch das Symbol ∞ zugeordnet werden.

Vergleicht man den Term 0 : 0 mit x : y, wobei sowohl x als auch y betragskleine Zahlen sind, so kann deren Quotient wie oben einen sehr großen Betrag haben, aber ebenso gut jeden beliebigen anderen Wert. Selbst unter Zuhilfenahme von ∞ liegt also für 0 : 0 kein geeigneter Wert nahe, es ist deshalb ein unbestimmter Ausdruck.

DefinitionBearbeiten

Üblicherweise wird der Begriff „unbestimmter Ausdruck“[1] verwendet für:

  [2]

Es handelt sich um genau diejenigen Ausdrücke, bei denen Grenzwertaussagen über den Ausdruck sich nicht allein aus den Grenzwerten der Operanden ergeben und selbst im Fall der Konvergenz verschiedene endliche Grenzwerte möglich sind.

AbgrenzungBearbeiten

Unbestimmter Ausdruck bedeutet nicht dasselbe wie

undefinierter Ausdruck
Zahlreiche weitere Ausdrücke sind – auch im Bereich der affin erweiterten reellen Zahlen – nicht definiert, etwa 1 : 0 oder  . Umgekehrt ist es durchaus üblich,   zu definieren.
Unstetigkeitsstelle bzw. nicht hebbare Definitionslücke der Rechenoperation
Sonst müsste auch 1 : 0 zu den unbestimmten Ausdrücken gezählt werden.

Keine unbestimmten Ausdrücke sind (unabhängig von Existenz oder Endlichkeit) Grenzwerte von konkreten Funktionen, wie

  oder  .

Zwar ergibt sich durch naives Einsetzen hier der unbestimmter Ausdruck 0 : 0 bzw. 0 · ∞. Durch genauere Untersuchung mit geeigneten Methoden wie der Regel von de l’Hospital kann der Grenzwert bestimmt werden. Es gilt

  sowie  

und nicht etwa

  bzw.  .

Auftreten bei FolgengrenzwertenBearbeiten

Sind   und   zwei Folgen reeller Zahlen, so kann man die Folgen  ,  ,   und – sofern    definieren; soweit beispielsweise   gilt, auch  . Falls die Ausgangsfolgen in den affin erweiterten reellen Zahlen konvergieren, etwa   und  , so gilt für die verknüpften Folgen auch meist  , wobei   eine der Grundrechenarten oder das Potenzieren bezeichnet. Wenn jedoch   einer der oben aufgeführten unbestimmten Ausdrücke ist, ist das Grenzverhalten von   unbestimmt. Tatsächlich kann eine (weitenteils) beliebige Folge   vorgegeben werden und dann   mit  ,  ,   konstruiert werden, wie die folgende Auflistung zeigt.

  • 0 : 0
    Setze   und  . Dann   und  ,   wegen   bzw.  .
  • 0 · ∞
    Setze   und  . Dann   und  ,   wegen   bzw.  .
  • ∞ − ∞
    Setze   und  . Dann   und es gilt   wegen  ,   wegen  , falls  , und  , falls  .
  • ∞ : ∞
    Es sei   vorausgesetzt. Setze   und  . Dann  ,  , also  ,   und natürlich  .
  • 00, ∞0, 1
    Es sei   vorausgesetzt. Setze   und bestimme wie oben Folgen  ,   mit  ,   und  .
    • Mit   und   erledigt man den Fall 00,
    • mit   und   den Fall ∞0,
    • mit   und   den Fall 1

Auftreten bei FunktionsgrenzwertenBearbeiten

Die oben für Folgen benutzten Methoden lassen sich leicht auf Funktionen verallgemeinern. Auf diese Weise findet man zu jeder reellen Zahl   (oder auch   oder  ), jedem unbestimmten Ausdruck  , jeder reellen Funktion   (ggf. mit der Einschränkung  ) zwei reelle Funktionen   und   mit   für alle   sowie   und  . Hierbei kann also   jeden endlichen oder unendlichen Wert annehmen (ggf. nur nicht-negativ) oder auch gar nicht existieren. Mit anderen Worten: Aus der Kenntnis von   und   kann keinerlei Rückschluss auf   gewonnen werden, wenn   ein unbestimmter Ausdruck ist. Dagegen gilt für die Grundrechenarten und das Potenzieren durchaus  , wenn es sich um einen definierten und nicht unbestimmten Ausdruck handelt (und   in einer punktierten Umgebung von   überhaupt definiert ist); ggf. sind hierbei die Rechenregeln für   zu beachten, wie sie für die erweiterten reellen Zahlen gelten.

Erfüllen die Funktionen   und   die stärkeren Voraussetzungen der Regel von de l’Hospital, insbesondere hinsichtlich Differenzierbarkeit, so lässt sich mit deren Hilfe ggf. eine Aussage über den gesuchten Grenzwert   machen.

ÜbersichtBearbeiten

Seien   und   reelle Funktionen und sei   eine reelle Zahl oder einer der beiden symbolischen Werte   oder  . Es sei vorausgesetzt, dass die Grenzwerte   und   entweder existieren oder dass bestimmte Divergenz vorliegt, was symbolisch als Grenzwert   bzw.   ausgedrückt sei. In den meisten Fällen gilt, dass dann auch folgende Grenzwerte mit den angegebenen Werten existieren (bzw. bestimmte Divergenz vorliegt, wenn sich rechts   ergibt):

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

Hierbei seien die Rechenregeln   für  ,   für  ,   für  ,   für  ,   für  ,   für  ,   für  ,   für   sowie entsprechende Vorzeichenvarianten vereinbart.

Die Existenz des Grenzwertes links, geschweige denn sein Wert, ergibt sich jedoch nicht auf diese einfache Weise aus den Grenzwerten der Operanden, wenn rechts einer der oben angegebenen unbestimmten Ausdrücke sich ergäbe. Im Folgenden werden Beispielfunktionen   mit entsprechenden Grenzwerten   aufgeführt, für die sich verschiedenste Grenzwerte   bzw. Divergenz ergibt:

  • 0 : 0
      mit  ,  .
      mit  ,  .
  • ∞ : ∞
      mit  ,  .
      mit  ,  .
  • 0 · ∞
      mit  ,  .
      mit  ,  .
  • ∞ - ∞
      mit  ,  .
      mit  ,  .
  •   mit  ,  , sofern  .
      mit  ,  .
  • 0
      mit  ,  , sofern  .
  • ∞ 0
      mit  ,  , sofern  .
      mit  ,  , sofern  .

Durch mathematische Umformungen lassen sich die verschiedenen Typen unbestimmter Ausdrücke auf den Typ 1 zurückführen. Bei einem unbestimmten Ausdrucks vom Typ 2 entsteht zum Beispiel durch die Umformung   ein Ausdruck des Typs 1.

Ausdrücke des Typs 5 bis 7 können durch Logarithmierung auf den Typ 1 zurückgeführt werden.

Der Ausdruck   lässt grundsätzlich ebenfalls keine vollständige Aussage über das Grenzverhalten zu, jedoch kann sich hierbei zumindest anders als bei den oben aufgezählten Fällen gewiss kein endlicher Grenzwert ergeben, sondern allenfalls bestimmte Divergenz nach   oder  . Als Beispiel betrachte man   mit   für   sowie wahlweise

  •  : bestimmte Divergenz nach  ,
  •  : bestimmte Divergenz nach  ,
  •  : links- und rechtsseitig verschiedene bestimmte Divergenz, insgesamt also unbestimmte Divergenz,
  •  : selbst einseitig liegt unbestimmte Divergenz vor.

Der Ausdruck 00Bearbeiten

Eine Sonderrolle kommt dem Ausdruck   zu, der an sich durchaus definiert ist, nämlich als  . Hierzu beachte man, dass das Potenzieren, also die Berechnung des Ausdrucks  , zunächst überhaupt nur definiert wird als wiederholtes Multiplizieren, wobei folglich   eine nichtnegative ganze Zahl sein muss. Dann ist   das leere Produkt, welches – unabhängig von   – als 1 definiert wird: Es soll   gelten, was zumindest für   zwingend   ergibt. Das leere Produkt hat keine Faktoren, und insofern ist es gleichgültig, welchen Wert der gar nicht auftretende Faktor   hat, so dass sich auch   ergibt. Die Definition   ist auch aus anderen Gründen sinnvoll. Beispielsweise gibt es, wenn   beide nichtnegative ganze Zahlen sind, stets genau   Abbildungen von einer  -elementigen Menge in eine  -elementige Menge. Nur mit der Definition   gilt dies auch im Fall  .

Die so als Abbildung von   nach   definierte Operation des Potenzierens lässt sich im Reellen per   auch auf den Fall  ,   fortsetzen sowie für nichtnegatives   durch Wurzelziehen zunächst auf nichtnegative rationale Exponenten und dann per Grenzwertbetrachtung auch auf  . Letzteres ist per Definition stetig in  , jedoch ist das Potenzieren als Abbildung von   nach   insgesamt nicht stetig an der Stelle  : Beispielsweise gilt  , aber  . Aus dieser Unstetigkeit ergibt sich die oben genannte Unbestimmtheit im Zusammenhang mit Grenzwerten.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Augustin-Louis Cauchy, Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique (1821). Œuvres Complètes, Teil 2, Band 3, Seite 70.
  2. Eric Weisstein: Indeterminate. In: MathWorld (englisch).