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Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als oder , ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von , in denen genau Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl die Anzahl der Permutationen von mit genau maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: .

Euler-DreieckBearbeiten

Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile  , erste Spalte  ; Folge A008292 in OEIS):

                             1
                          1     1
                       1     4     1
                    1    11    11     1
                 1    26    66    26     1
              1    57    302   302   57     1
           1    120  1191  2416  1191   120    1
        1    247  4293  15619 15619 4293   247    1
     1    502  14608 88234 156190 88234 14608 502    1
  1    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:

 

für   mit   und   für  . Auch die Konvention   und   für   wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.

EigenschaftenBearbeiten

Direkt aus der Definition folgen   und   für   und

      für  .

Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel

 

für   berechnet werden, insbesondere

  •   Folge A000295 in OEIS,
  •   Folge A000460 in OEIS und
  •   Folge A000498 in OEIS.

Es gilt die Worpitzky-Identität (Worpitzky 1883)[1]

 

für  , wobei   eine Variable und   ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.

Eine erzeugende Funktion für   ist

 

Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen   wird durch die alternierende Summe

 

für   hergestellt.

Euler-PolynomeBearbeiten

 
Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen[2]

Das Euler-Polynom   ist definiert durch

 

also

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel

 

und die erzeugende Funktion

 

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 1883, S. 203–232
  2. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis Teil 2, Academia imperialis scientiarum Petropolitanae, 1755, S. 485–486 (lateinisch)